Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

8.1. ÜBERBLICK 387
Für die Sonne ist somit in der Nähe des Zentrums, wo noch keine Kernfusion stattfindet
�
T (r) = 4
R 2
lr Teff
(8.46)
die Temperatur tatsächlich größer.
Um nun noch abzuschätzen, wieviel Energie durch Kernfusion erzeugt wird, benötigen wir folgende
Fakten:
1. Die bei der Fusion freigesetzte Energie beträgt E � 8 MeV.
Es ist rk := ¯h/mπc = 1.46f (1f := 10 −13 cm; Fermi) die Reichweite der Kernkräfte. Die Bindungsenergie
ist etwa
EB = −(1/2)¯h 2 /mpr 2 k (8.47)
= −(1/2)(mπ/mp)mπc 2 � 8 MeV (8.48)
2. die Fusion ist ein Tunnelprozeß.
Die Wahrscheinlichkeit W für den extrem temperaturabhängigen Tunneleffekt ist etwa
W � (Tt/T ) 2/3 exp −(Tt/T ) 1/3 = (Tt/T ) 2/3 10 −(Td/T ) 1/3
(8.49)
Tt = (3/2) 3/2 (πe 2 /¯h) 2 (mp/k) = 7.7 · 10 10 K (8.50)
Td = Tt(log e) 3 = 3.2 · 10 9 K (8.51)
Es ist z. B. W = 4 · 10 −5 für T = 10 7 K.
3. der eigentliche (Reaktions) Wirkungsquerschnitt ist der der schwachen Wechselwirkung.
Die Gesamterzeugungsrate pro Volumen, ˙ɛρ, ist dann
˙ɛρ = EBW < nσv > ρ (8.52)
dabei ist σ der Wirkungsquerschnitt für die schwache Wechselwirkung und ρ = ˜µmun die Massendichte.
8.1.6 Die untere Grenzmasse für Sterne
Mit unserer einfachen Formel (8.30) für die Leuchtkraft L ist es nun möglich, die thermische Entwicklung
eines massearmen Sterns zu diskutieren.
Die erste Voraussetzung an die Masse eines Sterns ist die, daß im Innern die Temperatur hoch genug
wird beim Schrumpfen, sodaß die Materie überhaupt ionisiert wird, also (für Wasserstoff)
was mit
d. h. α −3/2
G
kT ≫ 1
2 α2 mec 2 ≈ 13.6 eV
N = α −3/2
G
= 2.2 · 10 57
≈ 2N⊙ auf die Bedingung
M ≫ α 3/2 α −3/2
G mp ≈ 10 −3 M⊙
(8.53)
führt; sonst erhält man einen Planeten.
Die zweite, strengere, ist die, daß im Innern die Temperatur sogar hoch genug wird, sodaß die durch
Kernfusion erzeugte Wärme das Schrumpfen stoppen kann. Dies muß geschehen, solange die Materie
nichtentartet ist.