Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.1. GRUNDLAGEN 277
• FORMELN (HELMHOLTZ-KELVIN SCHRUMPFLEUCHTKRAFT)
Als erstes betrachten wir das Schrumpfen eines Sterns, Ëpuls = 0. Dann gilt
2 < Uint > + < Ugrav > = 0 (5.5)
Von der gravischen Energie kann nur die Hälfte abgestrahlt werden, die andere Hälfte geht in innere Energie bei der
Kompression des Gases, also gilt für die Leuchtkraft L, die beim Schrumpfen freigesetzt wird,
L = − ˙ E = −1 GM
2
2
R2 ˙R (5.6)
Diese Formel gilt auch für einen akkretierenden Sterne (wie ein Weißer Zwergoder ein Neutronenstern), wobei die Energie
aus der Scheibe stammt. Die restliche Bindungsenergie wird beim Aufprall auf den entarteten Stern freigesetzt.
Die typische Halbwerts-Zeit, in der der Radius schrumpft, heißt
tHK = E
L
= GM 2
2RL
= − R
2 ˙ R
Für die Sonne erhält man mit den beobachteten Werten für M und L etwa
tHK ≈ 30My = 3 · 10 7
(5.7)
Jahre (5.8)
• FORMELN (PULSATIONSPERIODE EINES STERNS)
Für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage ist die Änderung der Energie eines Sterns, der sich im hydrostatischen Gleichgewicht
befindet, proportional zum Quadrat der Amplitude. Wir setzen für die Pulsamplitude
ξ = δ sin(ωt) und definieren I ≈ MR 2
für das Trägheitsmoment und betrachten den Energiesatz für die Pulsation eines Sterns, also im zeitlichen Mittel Epuls =
Eint mit
Epuls = 1
2 M( ˙ ξ) 2
und (Gravitation und Thermik zusammengefasst)
Eint = U ′′ δ 2 mit U =
GM 2
2R
so können wir dies auch wie folgt als Osizillation schreiben
Ï = ω 2 I mit ω 2 = R3
GM
Ersetzen wir die Masse M durch die mittlere Dichte, ρ, so erhalten wir mit einem Faktor fpuls
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
1
τ = fpuls √ mit ωτ = 1 (5.13)
Gρ
in Zahlen - für die Sonne - τ⊙ = 1 h mit fpuls = 1. Für eine homogene Kugel ist
fpuls = √ 3π (5.14)
Diese heuristische Herleitung liefert die richtige Größenordnung, die korrekte Schwingungsgleichung (Eddington, 1918)
lautet
− ω 2 ρξ =
�
γP
r2 (r2ξ) ′
� ′
−
′ 4P
ξ (5.15)
r