Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.5. STABILITÄT 313
5.5.3 Schallwellen
Als erstes Beispiel betrachten wir den etwas idealisierten Fall eines unendlich ausgedehnten, homogenen
Mediums (ρo = const) mit konstantem Druck Po und ignorieren die Gravitation. Störungen z. B.
in Luft verlaufen adiabatisch (Laplace), d. h.
� ∂P
∂ρ
�
S
= (f + 2)P
fρ
Hier ist f die Anzahl der Freiheitsgrade, f = 5 für lin. Moleküle.
Wir erhalten
ρo
..
�x = −c 2 sgradδρ (5.230)
= c 2 sgrad[div(ρoδ�x)] (5.231)
oder, nach Kürzen, die Schwingungsgleichung für den Schall
..
�x= c 2 sgrad[divδ�x] (5.232)
Wir lösen diese Gleichung mit dem (Fourier) Ansatz
δ�x = �ae −iΦ , mit der Phase Φ = ωt − � k�x
und der konstanten Amplitude a. Das liefert die Dispersionsrelation:
ω 2 = c 2 sk 2
und zusätzlich die Aussage
�a � � k
(5.233)
d. h. Schallwellen sind longitudinal.
Es ist für Luft c 2 s = 7P/5ρ = 7kT/5˜µ d. h. die Schallgeschwindigkeit ist unabhängig von der Dichte
und der Frequenz.
5.5.4 Das Jeans–Kriterium
Als (für spätere Anwendungen wichtiges) Beispiel betrachten wir nun Störungen im homogenen, ruhenden
Gas bei Berücksichtigung der Gravitation. Die Master Gleichung liefert folgende Dispersionsrelation
(Jeans):
ω 2 = c 2 sk 2 − 4πGρo
(5.234)
Der erste Term beschreibt hier wieder longitudinale Schallwellen, der zweite liefert die sog. Jeans-
Instabilität. Falls nämlich
− ω 2 = γ 2 = 4πGρo − c 2 sk 2 > 0
ist, dann verhalten sich alle Störgrößen wie
f = f+e γt + f−e −γt
Im Gegensatz zum Kollaps von Staub, den wir exakt behandelt haben, ist hier das Anwachsen der
Dichte jedoch scheinbar exponentiell. Da aber gerade Staub als Grenzfall enthalten ist, cs = 0, kann
hier etwas nicht stimmen.