Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

7.1. PHYSIK DER ERDE 363
7.1.5 Aufbau und Pulsation
Legende: x = 100 · r
R
1. Kruste: ∆R ≈ 10 . . . 30 km; T ≈ 290 K
2. Lithosphäre: ∆R ≈ 100 km
3. oberer Mantel
4. unterer Mantel
5. äusserer Kern
6. innerer Kern; T ≈ 6000 K
Abb. 7.1: Aufbau der Erde
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x
100
80
60
40
20
00
♠
4
♠
5
♠
6
2.7
5.1
5.7
15.1
16.
ρ
[g cm −3 ]
Wir betrachten zunächst wieder die inkompressible Kugel. Die Kraft auf ein Teilchen der Einheitsmasse
¨r = − dφ
(7.45)
dr
ist harmonisch. Wie bei der Behandlung der polytropen Sterne bereits erwähnt, ist die Schwingung
eines Testteilchens im Gravitationsfeld einer statischen Kugel (Reise zum Zentrum der Erde) durch
folgende Gleichung für r(t) gegeben:
¨r = − Gm(r)
r2 = −G4πρ r
3
mit der Lösung (Start an der Oberfläche r = R zum Zeitpunkt t = 0):
�
(7.46)
r(t) = R cos ωt ω =
4πGρ
3
(7.47)
Das ist eine harmonische Schwingung mit der Periode (einmal zur Antipode und zurück in T⊕ = 84
min):
Π = 2π
ω =
�
3π
Gρ
(7.48)
Eine Frei - Fall - Reise zum Zentrum der Erde dauert demnach T = Π
4 = � 3π
16 ˆ Π⊕, also etwa 21 min.
Die Lösung hat eine interessante Eigenschaft. Es ist auch
�
R
Π = 2π ; g =
g
GM
r2 die Zeit, die ein Satellit benötigt, auf der kritischen Bahn, wo Bahnradius = Erdradius ist, r = R, um
die Erde umzulaufen. Es ist in der Tat gR = v2 = ω2R2 . Die Erdbeschleunigung g beträgt 981 cm
s−2 und die kritische Geschwindigkeit vc = 7.91 · 105 cm s−1 . In 400 km Höhe über dem Erdboden ist
vc = 7.67 · 105 cm s−1 und für den Mond gilt vc = 1.02 · 105 cm s−1 .
Zum Vergleich: die Schallgeschwindigkeit für reines Eisen ist (unter Normalbedingungen) cs = 7.1 ·
105 cm s−1 √
. Die Entweichgeschwindigkeit vesc = vc 2 für die Erde beträgt vesc = 11.2 km s−1 .
Mithilfe von Erdbebenwellen erhält man folgendes Bild vom Innern der Erde: der innere Kern hat etwa
eine Dichte von ρc = 10 g cm−3 und einen Radius von 1300 km, daran schließt sich flüssiges Eisen an
(Radius 3500 km). Der Mantel hat eine Dichte zwischen 3 und 6 g cm−3 .
Die Periode der Schwingungs - Grundmode ist 1960 erstmals direkt (nach einem Erdbeben in Chile)
gemessen worden. Als Ergebnis ergab sich eine Doppellinie mit Π = 54.7 min und Π = 53.1 min
(Coriolisaufspaltung durch die Rotation der Erde) mit einer Dämpfungskonstante von etwa 1 Monat.
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