Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 101
Grundlage der klassischen Mechanik ist die Existenz eines Inertialsystems. Kräftefreie Körper bewegen
sich in ihm geradinig und mit konstanter Geschwindigkeit. Eine geradinige Bewegung ist
äquivalent mit einer Geodäten im Euklidischen Raum. Kartesische Koordinaten sind also dadurch ausgezeichnet,
daß sie Geodäten darstellen. Jedes Bezugsystem, das sich zu einem Inertialsystem mit
konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist selbst ein Inertialsystem.
• BEISPIEL (HERLEITUNG AUS DEM HAMILTONSCHEN WIRKUNGSPRINZIP)
Wir beginnen mit den nichtrelativistischen Bewegungs - Gleichungen, formulieren diese anschließend kovariant um und
betrachten schließlich den Übergang vom Teilchen zum Feld.
Nichtrelativistisch wird die Bahn des Teilchens durch x(t) beschrieben. Die Wirkung S ist durch die Lagrange-Funktion L
L = T − V = m
2 �v2 − V (x) (1.153)
bestimmt. Die nichtrelativistische Lagrange-Funktion ist die Differenz von T (kinetische Energie) und V (potentielle Energie).
S =
� T
0
L(�x, .
�x, t) dt (1.154)
Die Bewegungsgleichungen, die Euler-Lagrange Gleichungen, folgen aus der Variation der Wirkung S nach der Bahn x(t)
bei festgehaltem Anfangs- und Endpunkt.
δS = 0 (1.155)
durch Nullsetzen derselben.
δS =
Sie lauten für
∂L
∂�v δ�x
�
�
�
�
Ende �
Anfang
Ende
Anfang
�
− d
� �
∂L ∂L ∂L
+ δ�x dt +
dt ∂�v ∂�x
∂�v δ�x
�Ende Anfang
= 0
also z. B. für δ�x = 0 am Anfangs- und Endpunkt
�
d ∂L
dt ∂ .
�
=
�x
∂L
∂�x
Die Bewegungsgleichungen lauten explizit
m d
�v = −∂V
dt ∂�x
V = 0 ist die Lagrange-Funktion des freien Massenpunktes und
(1.156)
(1.157)
�v = �vo ; �x = �vot (1.158)
ist die Bahn. Mit drei geeignet gewählten Bahnen kann ein (inertiales) Kartesisches System realisiert werden.
Analog zur Galileischen Mechanik gehen wir wieder von einem Hamiltonschen Wirkungsprinzip aus mit der Wirkung
S und mit der Lagrange-Funktion L. Daraus folgen wieder Bewegungsgleichungen und Feldgleichungen. Für ein freies
Teilchen ist die Wirkung gegeben durch den einzig möglichen Lorentz–Skalar: die Eigenzeit, τ, des Teilchens.
S = −mc 2
�
�
dτ = −
mc
�
ηik
dx i
dλ
dxk dλ (1.159)
dλ
Hier ist λ = s = cτ und kann durch einen beliebigen affinen Parameter zur Beschreibung der Teilchenbahn ersetzt werden.
Die Variation ergibt
d ∂L ∂L
=
dλ ∂u ∂x
(1.160)