Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

104 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• FORMELN (DAS FRIEDMANN - LEMAÎTRE UNIVERSUM)
Die Isotropie des Raums führt auf das Robertson-Walker Linienelement, ds 2 :
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (1.180)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (1.181)
Daraus folgen die Friedmannschen Gleichungen
� ′ a
3
a
2 a′′
a +
� ′ a
a
� 2
� 2
�
1
+ 3k
a
�
1
+ k
a
� 2
� 2
= ˆκɛ (1.182)
= −ˆκp (1.183)
Setzt man die kosmologische Konstante gleich Null, so erhält man das Friedmann-Lemaître Universum. Es ist heute das
Standardmodell (F-L Modell) für den Kosmos. Zur Beschreibung definiert man zwei dimensionslose Parameter, den Dichteparameter
Ω
Ω = κρa2
3˙a 2
und den Dezelerationsparameter q:
q = − äa
˙a 2
(1.184)
(1.185)
Beide Parameter sind in Wahrheit zeitabhängig, ebenso die Hubble Konstante. Ihre Bestimmung zum heutigen Zeitpunkt,
Index o, legt das Standard F-L Modell eindeutig fest. Gewöhnlich benutzt man die direkt messbare Hubble Konstante H
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
und eine kritische Dichte ρcr:
ρc = 3H2
c 2 κ
Der Zusammenhang zwischen den Parametern q, k und H ist
(1.186)
(1.187)
kc 2
a 2 = (2q − 1)H2 = H 2 (Ω − 1) (1.188)
• BEISPIEL (KOVARIANTE FORMULIERUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN II)
Die inhomogenen Gleichungen lauten explizit
F ik ;k = − 4π
c ji
(1.189)
dabei bedeutet das Semikolon die kovariante Ableitung. Da F ik ein anti-symmetrischer Tensor (2ter Stufe) ist, gilt eine
besonders einfache Form
F ik ;k = 1 �√ ik √ −gF
−g
�
= −4π
,k c ji
Daraus folgt die kovariante Form der Ladungserhaltung
(1.190)
1 �√ k √ −gj
−g
�
= 0 (1.191)
,k