Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

134 KAPITEL 2. GRAVITATION
• ANMERKUNG (REDUKTION AUF DAS 1- KÖRPERPROBLEM)
Die Gesamtenergie ist wegen der Zeitunabhängigkeit, der Gesamtdrehimpuls wegen der Drehinvarianz erhalten. Für dieses
2- Körperproblem gibt es eine exakte Lösung, da es auf das 1- Körperproblem im gegebenen, statischen Potential
zurückgeführt werden kann. Newton selbst hat alle Beweise rein geometrisch geführt, die analytische Darstellung geht
auf Euler zurück. Eine besonders elegante Methode wurde von Lagrange gefunden. Sie wird bis heute zum Auffinden
physikalischer Theorien benutzt.
Aus der Lagrange-Funktion L für die beiden Massen
L = T − U = m1
2 v2 1 + m2
2 v2 2 − U(|�x2 − �x1|) (2.12)
wird die reduzierte 1-Teilchen Lagrange-Funktion
L = m
2
. 2
��r + M
2
. 2
��R −U(r) (2.13)
Die Schwerpunkt Koordinate R ist zyklisch, ∂L/∂R = 0, sodaß die Schwerpunkt- Geschwindigkeit (und Schwerpunktsenergie)
erhalten ist.
Wir gehen ins Schwerpunktsystem und setzen V = 0 und R = 0. Wir behandeln zunächst das reduzierte 1-Teilchen
Problem. Wir geben später die allgemeine Behandlung des Kepler Problems.
In sphärischen Koordinaten lautet die Lagrange-Funktion L:
L = 1
�
˙r
2m
2 + r 2 Θ˙ 2 2 2
+ r sinΘ φ˙ 2 �
− U(r) (2.14)
Zusätzlich zur Energie E und zum Drehimpuls J ist (als Besonderheit des Potentials U) noch der Laplace - Lenzsche
Vektor erhalten:
�LL = m�v × (�r × �v) + U�r ; U = α
r
Er hat den Betrag αe und ist vom Brennpunkt zum Perihel gerichtet. Physikalisch bedeutet der Erhaltungssatz, daß die
Bahnlage stabil ist: der Massenpunkt kehrt zu seinem Ausgangspunkt zurück.
Die Konstanz des Laplace-Lenzschen Vektors bedeutet also, daß die Bahn geschlossen ist und (wie
wir später zeigen werden) daß die Exzentrizität e bei kleinen
Störungen erhalten bleibt. Mathematisch impliziert dies, daß die
Bahn durch elementare Funktionen ausgedrückt werden kann.
Die einzige weitere Ausnahme, bei der beliebige Bahnen stets
geschlossen sind, ist der harmonische Oszillator (mit der Frequenz
ω). Dort ist (wie wir ebenfalls später zeigen werden) der
zusätzlich erhaltene Parameter E/ω.
In der nebenstehenden Abbildung ist (zur Illustration übertrieben)
Abb. 2.1: Keplerbahn
der Fall gezeigt, wo die Bahn pro Umlauf um 15 Grad fortschreitet.
Ein beliebiges Zentralpotential führt dagegen auf elliptische Integrale. Ein interessanter Fall, der exakt
gelöst werden kann, ist ein Potential der Form U = −αr−2 . Hier stürzt das Teilchen ins Zentrum, falls
ein kritischer Wert für den Drehimpuls unterschritten wird.
Die Bedeutung der beiden Potentiale, U = −ωr2 und U = −αr−1 wird später noch klar werden. Es
ist nicht übertrieben, zu sagen, daß etwa 90% der Physik mit diesen abgedeckt werden.
2.2.1 Die Keplerschen Gesetze
Im folgenden ist M die Gesamtmasse und m die reduzierte Masse
M = m1 + m2 ; m = m1m2
m1 + m2
(2.15)
(2.16)