Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 173
Grundlagen
• ANMERKUNG (AXIOME UND POSTULATE)
1. Axiom: Riemannsche Differentialgeometrie in 1+3 Dimensionen
Die Raumzeit ist punktal durch die Minkowski Raumzeit mit einer Zeit- und drei Raumdimensionen
R4 = R1 × R3
beschreibbar. Die Spezielle Relativitätstheorie wird durch folgende Metrik
ds 2 = ηikdx i dx k = c 2 dt 2 − (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (2.212)
beschrieben. Die Komponenten des Tensors ηik sind also orthogonal und normiert:
ηik = diag ( + 1, − 1, − 1, − 1) (2.213)
Lokal wird daraus eine Riemannsche Differentialgeometrie. Diese 4–dim. Raumzeit (Allgemeine Relativitätstheorie)
beschreiben wir mit den Koordinaten
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z (2.214)
Die Metrik ist dann global durch
ds 2 = gikdx i dx k
(2.215)
gegeben und das invarianten 4-er Volumelement ist
√ −gdΩ = √ −gcdtdxdydz mit g := det(gab) (2.216)
2. Axiom: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
1. Postulat: Die dynamischen Gleichungen der Physik, nicht nur die der ART, folgen aus einem Wirkungsprinzip.
2. Postulat: Die Wirkung ist ein Skalar.
Die Einsteinschen Feldgleichungen folgen aus einem Wirkungsprinzip
δS = 0 ; S = 1
c
�
Λ √ −gdΩ ; dΩ = d 4 x = cdtdV (2.217)
wobei die Wirkung S die Summe aus den verschiedenen Feldanteilen ist.
3. Postulat: Alle Felder (mit Index g, m und v) tragen in linearer Superposition bei
�
S = (Λg + Λm + Λv) √ −g dΩ
c
(2.218)
Die Feldgleichungen aller Felder folgen normalerweise einzeln aus δSi = 0, wobei i für den Index g, m und v
steht. In der ART sind sie durch die Bianchi Identitäten eingeschränkt. Für Testteilchen gilt, daß diese sich auf den
Geodäten der Raumzeit bewegen.
Geodäten und ihre Gleichungen
Im 3-dim Raum sind Geodäten diejenigen Kurven, die die kürzeste Länge zwischen zwei Punkten A
und B haben.
• DEFINITION (DIE KOORDINATEN DES 3-DIM RAUM)
Griechische Indizes laufen von 1 bis 3. Die Koordinaten werden mit x α bezeichnet. Zur Beschreibung der Geometrie wird
das Linienelement
dl 2 =
3�
3�
α=1 β=1
γαβdx α dx β
benutzt. Unter Koordinatentransformationen ist dl 2 ein Skalar. In Zukunft werden wir die Summenkonvention benutzen.
dl 2 = γαβdx α dx β