Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

174 KAPITEL 2. GRAVITATION
• FORMELN (DIE GEODÄTENGLEICHUNG IM 3-DIM RAUM)
Die Entfernung lAB zwischen zwei benachbarten Punkten A und B ist das Minimum der Länge
lAB =
�B
A
�
γαβ
dx α
dt
dxβ �1/2
dt
dt
aller Kurven x α (t), die A mit B verbinden.
Die Kurve x α (t) erhält man wie folgt. Man betrachtet ’benachbarte’ Kurven x α (t) + δx α (t), bei denen Anfangs und
Endpunkt festgehalten sind:
δx α (tA) = 0 ; δx α (tB) = 0
und berechnen die Variation
�B
�
δlAB = δ
A
γαβ
dx α
dt
dxβ �1/2
dt
dt
Die Variation verschwindet, falls die Kurve x α (t) das Minimum realisiert. Wir nennen den Integranden Lagrange-Funktion
L
L = (γαβ(x) ˙x α ˙x β ) 1/2
und die Variation ist
und
δL = ∂L
∂ ˙x α δ ˙xα + ∂L
δxα
∂xα dx α
dt
= ˙xα
Wir erhalten die Variation bezüglich δx α nach Umintegration
δl =
�B
A
�
− d
�
∂L
dt ∂ ˙x α
�
+ ∂L
∂xα �
δx α dt
oder die Geodätengleichung
− d
�
∂L
dt ∂ ˙x α
�
+ ∂L
= 0 (2.219)
∂xα Da wir den Materieinhalt als Summe nicht wechselwirkender Felder beschreiben, muß jede einzelne
Komponente die Bewegungsgleichung
T ik ;k = 0 (2.220)
aufgrund seiner Feldgleichung erfüllen. Für Testteilchen bzw. Testphotonen ist das die Geodätengleichung.
• FORMELN (DIE GEODÄTENGLEICHUNG IM 4DIM RAUM)
Die Dynamik von Testteilchen der Masse m erhalten wir wie folgt. Die Lagrange-Funktion L folgt in der SRT aus dem
einzigen Lorentz–Skalar den man aus Metrik und 4er Geschwindigkeit eines Teilchens bilden kann
S = −mc 2
�
�
dτ = −
mc
�
ηik
dx i
dλ
dxk dλ (2.221)
dλ
wobei τ die Eigenzeit des Teilchens ist. Durch kovariantes Umschreiben (d. h. durch den Übergang ηik → gik zur Metrik
der ART) wird daraus:
S = −mc 2
� � �
dx
dτ = − mc gik
i dx
dλ
k
dλ (2.222)
dλ
Hier ist λ ein beliebiger affiner Parameter zur Beschreibung der Teilchenbahn. Wählt man dafür die Eigenlänge selbst, dann
wird mit
u i = dxi
ds
u i u k gik = 1 (2.223)