Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

366 KAPITEL 7. DIE ERDE.
1. die Eulersche Gleichung der Hydrodynamik und
2. die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom.
Sie lauten (mit �g = −∇V )
ρ D�v
dt
∂ρ
∂t
= −∇P − ρ�g (7.49)
= −div(ρ�v) (7.50)
Wir nehmen die ungestörte Oberfläche der Erde (Koordinaten x und y) als eben an, z = 0. Das Gravitationspotential
V (Lösung der Poisson Gleichung) ist dann einfach V = gz und �g = −∇V ist die Gravitationsbeschleunigung. Für
inkompressible Materie und kleine Geschwindigkeit kann die linearisierte Eulersche Gleichung der Hydrodynamik wie
folgt geschrieben werden
∂�v
∂t
Daraus folgt
= −∇
� P
ρ
�
+ �g (7.51)
rot�v = 0 und aus der Wirbelfreiheit �v = ∇φ (7.52)
für ein geeignetes Potential φ. Eine Strömung nennt man Potentialströmung.
Die wichtige Vereinfachung, die inkompressible Materie mit sich bringt, ist, daß auch
div�v = 0 und damit ∆φ = 0 (7.53)
gilt. Einsetzen in die Eulersche Gleichung liefert
p = −gρz − ρ ∂φ
∂t
An der Oberfläche muß der Druck stetig sein, der Luftdruck ändert sich nicht:
po = −gρζ − ρ ∂φ
∂t
Die Gleichung für φ kann vereinfacht werden duch die Einführung des neuen Potentials φ ′ = φ + (po/φ)t. Die Grenzbedingung
für φ lautet dann
gρζ + ρ ∂φ
∂t
(7.54)
(7.55)
= 0 (7.56)
und da φ das Potential zu v ist, vz = ∂φ
∂z , gilt
vz = ∂ζ
∂t
=
� �
∂φ
∂z z=ζ
Differenzieren der Grenzbedingung und Einsetzen liefert
�
∂φ 1 ∂
+
∂z g
2φ ∂2 �
t
= 0 (7.58)
z=ζ
Tatsächlich reicht es, die Randbedingung für z = 0 zu erfüllen, da φ bereits eine kleine Größe ist. Wir erhalten damit
endgültig
� ∂φ
∂z
+ 1
g
∂ 2 φ
∂ 2 t
(7.57)
∆φ = 0
�
(7.59)
= 0 (7.60)
z=0
wobei die zweite Gleichung die Grenzbedingung an der Oberfläche der Flüssigkeit ist, die später die Dispersionsrelation
liefert. Der folgende Ansatz
φ = f(z) cos(kx − ωt) (7.61)