Salvador Vera

96 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
En general, tendremos funciones del tipo:
f : D⊆R n −→ R
f : (x1,...,xn) ↦−→ y y = f(x1,...,xn)
f : x ↦−→ y y = f(x)
que llamaremos funciones reales de n variables reales, si consideramos a los
puntos de Rn como n-adas de números reales (es decir, veremos n variable),
obien,funciones reales de variable vectorial, si consideramos a los elementos
de Rn como vectores (es decir, sólo veremos una variable: un vector).
Es decir, una función f : D⊆Rn −→ R es una regla que asocia a cada
n-ada ordenada de números reales (x1,...,xn) de D, o bien, a cada vector
x de D, unnúmero real (y sólo uno) bien determinado f(x1,...,xn).
En consecuencia, una función de varias variables está constituida por:
a) Su dominio D⊆Rn ,
b) su codominio R,
c) la regla, z = f(x),queasociaacadaelementodeldominiox∈D, su imagen z ∈ R.
A la magnitud que se despeja (la imagen) se le llama variable dependiente
y a las otras variables independientes.
A las funciones de varias variables también se les llama campos escalares.
Igual que en una variable, para que la correspondencia sea función la imagen
tiene que ser única. Para poder aplicar las propiedades de las funciones
a las correspondencias que no lo son, hay que descomponerlas en funciones.
Ejemplo. La ecuación de la esfera x2 +y2 +z2 = 1 no representa (globalmente)
una función, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos
valores de la tercera, lo que viola el concepto de función.
✲ y
z
✻
x
✠
Figura 2.5:
x 2 + y 2 + z 2 =1 ⇒ z 2 =1− x 2 − y 2 ⇒
⇒ z = ± 1 − x2 − y2 (no es función) ⇒
⇒
z1 =+ 1 − x 2 − y 2 (si es función)
z2 = − 1 − x 2 − y 2 (si es función)
Funciones vectoriales. Una función se dice que es vectorial cuando el
resultado no es un número, sino un vector, es decir, una pareja de números
o una terna de números.
Ejemplo. Si las ecuaciones paramétricas de una recta son las siguientes:
x =1− t
y =2+3t
z =1+t