Salvador Vera

236 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente definición de diferenciabilidad para funciones
de una variable:
Definición 4.4. Una función f : D ∈ R → R es diferenciable en x0 ∈ D si existe una
constante A tal que
r(h)
f(x0 + h) =f(x0)+Ah + r(h) con lím
h→0 h =0
Esta definición es equivalente a la anterior, en efecto, despejando A de la expresión
anterior resulta:
f(x0 + h) − f(x0)
A = −
h
r(h)
h
de donde, al tomar límite cuando h → 0 se ve la equivalencia entre la definición de diferenciabilidad
y la existencia de la derivada, resultando A = f ′ (x0).
Generalización para dos variables.
Desde un punto de vista gráfico, una función de dos variable f : D⊆R2 → R
es diferenciable en un punto p(x0,y0) de su dominio, si su gráfica tiene
plano tangente en dicho punto. Pero, ¿qué entendemos por plano tangente
a una superficie en uno de sus puntos?. De todos los planos que pasan por
el punto, ¿cuál es el plano tangente?. El plano tangente es un plano que
toca a la superficie en un punto, pero que, además, la superficie se aplana
en las proximidades del punto de tangencia, tratando de confundirse, “por
un instante”, con el propio plano. Este aplanamiento en los alrededores del
punto de tangencia, este “tratar de confundirse” con el plano tangente, es
lo que hace que la superficie sea suave y que se pueda aproximar mediante
el plano tangente en los alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que
realmente caracteriza el concepto de función diferenciable.
Un plano cualquiera que pase por el punto P = x0,y0; f(x0,y0) vendrá
definida por la ecuación: z = f(x0,y0) +A(x − x0) +B(y − y0). Si
queremos que este plano sea tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto
P , tendrá que cumplirse:
f (x0,y0)+(h, k) r(h, k)
= f(x0,y0)+Ah+Bk+r(h, k) con lím
(h,k)→(0,0) (h, k) =0
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente definición de diferenciabilidad
para funciones de dos variables:
Definición 4.5 (Función diferenciable). Una función f : D⊆R 2 → R
es diferenciable en el punto p(x0,y0) ∈Dsi existen dos constantes A y B
tales que
f (x0,y0)+(h, k) r(h, k)
= f(x0,y0)+Ah + Bk + r(h, k) con lím
(h,k)→(0,0) (h, k) =0
f es diferenciable en la región D si es diferenciable en todo punto de D