Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 307
El ejemplo más típico de punto silla es el que corresponde a la situación
denominada ✭✭silla de montar✮✮, no obstante, pueden darse otras situaciones
más irregulares.
Teorema 4.16 (Los extremos relativos se producen solamente en
puntos críticos). Si f(x0,y0) es un extremo relativo de f en una región
abierta R, entonces(x0,y0) es un punto crítico de f.
Demostración. En efecto, si g(x) =f(x, x0) tiene un extremo relativo en x0,
entonces g ′ (x0) = 0 o no existe. Pero g ′ (x0) =fx(x0,y0)
De la misma forma, si h(y) = f(x0,y) tiene un extremo relativo en y0,
entonces h ′ (y0) = 0 o no existe. Pero h ′ (y0) =fy(x0,y0)
Al afirmar el teorema que en un máximo y en un mínimo relativo, las
derivadas parciales o no existen o valen cero, lo que nos viene a decir es que
los extremos de una función, en una región abierta, se producen solamente
en los puntos críticos. Sin embargo, hay que advertir que no en todo punto
crítico existe un máximo o un mínimo, ya que se puede producir lo que se
llama un punto silla, que no son ni máximos ni mínimos relativos.
Si la región fuera cerrada podrían darse lo que se llaman extremos en la
frontera.
4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos críticos
a) Método algebraico.
Existen funciones que, por su sencillez, permiten estudiar la naturaleza de
sus puntos críticos mediante argumentos exclusivamente algebraicos. Es decir,
el estudio de la naturaleza de los extremos relativos, se hace a partir
de la propia función, mediante transformaciones algebraicas de la misma.
Comparando el valor de la función en el punto crítico con el valor de la
función en los alrededores del punto crítico.
Ejemplo 4.66. Determinar los extremos relativos de la función:
f(x, y) =3x 2 + y 2 − 6x − 4y +8
Solución. Hallamos las derivadas parciales y determinamos los correspondientes
puntos críticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales
no está definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas.
En el caso de funciones polinómicas las parciales están siempre definidas,
por tanto:
fx(x, y) =6x − 6
fy(x, y) =2y − 4
6x − 6=0
2y − 4=0
x =1
y =2
p(1, 2)
Para estudiar la naturaleza del punto crítico p(1, 2) comparamos el valor de
la función en el punto crítico con el valor de la función en los alrededores