Salvador Vera

258 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
(b) Ecuación de un plano conocido un punto del mismo y un vector normal al plano.
Si unimos el punto P con el punto X mediante el
vector −−→
PX,resultaráque los vectores −−→
PX y n son
perpendiculares y por lo tanto su producto escalar
será cero.
n ⊥ −−→
PX ⇐⇒ n · −−→
PX =0
n ✻
P • ✲•
X
Plano tangente
Desde el punto de vista geométrico se llama plano tangente a una superficie
en un punto al plano que contiene a todas las rectas tangentes a la superficie
en dicho punto, o mejor dicho, a las rectas tangentes de todas las curvas
trazadas sobre la superficie que pasan por el punto. Si todas las tangentes
no están sobre el mismo plano, entonces se dice que el plano tangente no
existe.
Desde el punto de vista analítico para que exista el plano tangente a una
superficie en un punto de la misma, la función que define la superficie ha de
ser diferenciable en el punto correspondiente.
(a) Superficies dadas de forma explícita z = f(x, y)
El plano tangente ha de contener todas las rectas tangentes a la superficie
en el punto correspondiente, luego, en particular, ha de contener las rectas
tangentes en las direcciones de los ejes OX y OY , por lo tanto, los vectores
∂f
vT x = 1, 0,
∂x (x0,y0)
∂f
, vTy = 0, 1,
∂y (x0,y0)
serán paralelos al plano buscado.
Por tanto el plano tangente buscado contiene al punto x0,y0; f(x0,y0) y
es paralelo a los vectores vT x = 1, 0,fx(x0,y0) y vT y = 0, 1,fy(x0,y0) ,
por lo que su ecuación será:
x − x0
1
y − y0
0
z − z0
fx(x0,y0)
0 1 fy(x0,y0) ¬ =0
¬
de donde resulta z − z0 − fx(x0,y0)(x − x0) − fy(x0,y0)(y − y0) =0quese
puede expresar de la forma:
z − z0 = fx(x0,y0)(x − x0)+fy(x0,y0)(y − y0)
o bien, despejando z, y poniendo z0 = f(x0,y0) resulta
z = f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x − x0)+fy(x0,y0)(y − y0) (4.4)
NOTA: Si la función no es diferenciable, entonces la ecuación anterior no
representa el plano tangente, ya que en este caso el plano tangente no existe.
Es decir, si la función no es diferenciable, pero tiene derivadas parciales,