Salvador Vera

326 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
4.11. Problemas propuestos del Capítulo 4
Ejercicios propuestos del Capítulo 4
Soluciones en la página ??
4.1. Estúdiese la continuidad y diferenciabilidad en R 2 de la función f definida por
x sen y
f(x, y) = x2 + y2 si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) =(0, 0)
4.2. Encontrar y clasificar todos los puntos críticos de la función f(x, y) =2x 2 −y 3 −2xy
Problemas resueltos del Capítulo 4
4.1. ¿La ecuación 3y 3 x 4 − x 2 y =2define una función y = f(x) derivable en x =1?
Justifica tu respuesta y en caso afirmativo calcula f ′ (1) y con su ayuda determina la
ecuación de la recta tangente a la curva 3y 3 x 4 − x 2 y =2en el punto 1,f(1) ¡
Solución. Elteoremadelafunción implícita afirma que una ecuación F (x, y) =0define
una función y = f(x) derivable en un punto x0, si se cumplen las tres condiciones siguientes:
El punto P (x0,y0) cony0 = f(x0) cumple la ecuación F (P ) = 0, las derivadas
parciales de F en P son continuas, y Fy(P ) = 0.
- El punto que cumple la ecuación dada, viene definido por:
de donde, aplicando Ruffini, se tiene:
3 0 −1 −2
1 ↓ 3 3 2
3 3 2 0
3y 3 1 4 − 1 2 y =2 → 3y 3 − y − 2=0
⇒ 3y 3 −y−2 =(y−1)(3y 2 +3y+2) = 0 ⇒
y =1
3y 2 +3y +2=0
puesto que 3y 2 +3y +2= 0,yaque,sino,sería x = −3 ± √ 9 − 24
=
6
−3 ± √ −15
6
resulta que, para x =1,elúnico punto P (1,f(1)) que cumple la ecuación dada es el punto
(1, 1).
- Las derivadas parciales de F (x, y) =3y 3 x 4 − x 2 y − 2 son continuas en todo R 2 ypor
tanto en P , por tratarse de una función polinómica, en efecto:
Fx(x, y) =12y 3 x 3 − 2xy
Fy(x, y) =9y 2 x 4 − x 2
-Yademás: Fy(1, 1) = 9 − 1=8= 0.
Luego podemos afirmar la existencia de la función y = f(x) quecumplef(1) = 1 y que
es derivable en x = 1. Además, en virtud del teorema de la función implícita tenemos:
f ′ (x) =
−Fx(x, y)
Fy(x, y) = −12y3x 3 +2xy
9y2x4 − x2 → f ′ (1) = −10 −5
=
8 4
y teniendo en cuenta que la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto
P (1, 1) viene definida por:
y = f(1) + f ′ (1) · (x − 1)
resulta: y =1− 5
(x − 1) → 5x +4y =9
4