Salvador Vera

264 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Y teniendo en cuenta que si f(x, y) =x, setieneh1 = dx ysif(x, y) =y,
se tiene h2 = dy, podemos escribir:
Con lo cual resulta
df = ∂f ∂f
dx +
∂x ∂y dy
z
✻
f(x)
y y + h2 ✲
x x h2
•
h1 ❅
x + h1✠
❅
•
f(x + h) •
• x + h
✘✘✘✘✘✘✘ ❅❅
✘✘✘
✂✘ ✘✘✘ ·
t
✂
✂ ✂ •z r
df
Figura 4.13: ∆f ≈ df
f(x + h) =f(x)+df (x)+r(h)
Ahora bien, dado que límh→0 r(h) = 0 se tiene que, para h pequeño,
será r(h) ≈ 0 y en consecuencia
f(x + h) ≈ f(x)+df (x)
Si observamos la gráfica 4.13, vemos que se tiene,
f(x + h) ≈ z
Es decir, la z de la función z = f(x+h) en el punto x+h =(x+h1,y+h2),
coincide, de manera aproximada, con la z, en el mismo punto, del plano
tangente a la gráfica en un punto cercano x =(x, y)
Lo anterior también se puede expresar de la forma
Es decir,
f(x + h) − f(x) ≈ df (x)
∆f ≈ df
Geométricamente se pueden dar las siguientes interpretaciones: