Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 123
En un entorno del punto (0, 0) todos los puntos tienen como imagen
f(x, y) = 1, luego el límite en dicho punto también es 1.
En un entorno del punto (1, 0) una parte de los puntos tienen como
imagen f(x, y) = 1, y otra parte de los puntos tiene como imagen f(x, y) =0,
luego el límite en dicho punto no existe, ya que todos los puntos del entorno
deberían orientar su imagen hacia el mismo sitio.
Figura 2.35: lím f(x, y) =1 y lím f(x, y) no definido
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(1,0)
2.2.4. Límite de las funciones elementales
De forma análoga a una variable, en varias variables se cumplen las siguientes
propiedades:
Teorema 2.1 (Propiedades de las funciones continuas). Si k es un
número real y f y g son funciones continuas en (x0,y0), entonces las funciones
siguientes también son continuas en (x0,y0):
1. Múltiplo escalar: kf
2. Suma y diferencia: f ± g
3. Producto: fg
4. Cociente: f/g,sig(x0,y0) = 0
Del teorema 2.1 se desprende la continuidad de las funciones polinómicas
y racionales en cada punto de sus dominios.
Teorema 2.2 (Continuidad de una función compuesta). Si h es continua
en (x0,y0) y g es continua en h(x0,y0), entonces la función compuesta
dada por (g ◦ h)(x0,y0) =g[h(x, y)] es continua en (x0,y0). Esdecir,
lím g[h(x, y)] = g[h(x0,y0)]
(x,y)→(x0,y0)
Nota. Obsérvese que, en el teorema 2.2, h es una función de dos variables,
mientras que g es una función de una sola variable.
De los teoremas 2.1 y 2.2 se desprende la continuidad las funciones
f(x, y) =senx 2 y y g(x, y) =e x2 +y 2