Salvador Vera

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 109
Ahora bien, las n funciones
x1 = g1(u1,u2, ··· ,um), x2 = g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,xn = gn(u1,u2, ··· ,um)
pueden considerarse como las componentes de una sola función vectorial
g : D⊆R m → R n ,
de tal manera que a cada punto (u1,u2, ··· ,um) ∈D⊆Rm la función g
le asocia el punto g(u1,u2, ··· ,um) =(x1,x2, ··· ,xn) ∈ Rn , cuyas coordenadas
son
(x1,x2,...,xn) = g1(u1,u2, ··· ,um),g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,gn(u1,u2, ··· ,um)
Osea,
g(u1,u2,...,um)= g1(u1,u2, ··· ,um),g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,gn(u1,u2, ··· ,um)
que en esquema sería:
g
−−−→ Rn f
Rm −−−→ R
(u1,u2, ··· ,um) ↦→ (x1,x2, ··· ,xn) ↦→ z
De esta manera se ve el proceso de composición de funciones de varias variables
como un proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmente
de la siguiente forma:
Definición 2.2 (Composición de funciones). Dada la función f : Df ⊆
R n → R definida en el conjunto Df de R n y la función g : Dg ⊆ R m → R n
definida en el conjunto Dg de R m , cuyo rango está contenido en Df (es
decir, g(Dg) ⊆ Df ), entonces se puede formar la composición de ambas
funciones f ◦ g : Dg ⊆ R m → R, definida como:
Esquemáticamente sería.
g : Dg ⊆ R m → R n
f : Df ⊆ R n → R
y mediante diagramas,
(f ◦ g)(u) =f g(u)), u ∈ Dg
g f
Dg −→ Df −→ R
f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R (f ◦ g)(u) =fg(u)
O bien, teniendo en consideración los dominios,
En el caso de que no se cumpla la condición g(I) ⊆ J, la composición
también es posible, siempre que g(I)∩J = ∅. En tal caso habrá que restringir
las funciones a aquellos puntos en los que la composición sea posible. Es
decir, a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el
dominio de la segunda.
Igual que en una variable, en general, la composición de funciones no
cumple la propiedad conmutativa, y sí la asociativa.