Salvador Vera

192 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.49. Hallar el 3 o polinomio de Taylor de la función:
f(x) = sen(sen x)
Solución. En vez de derivar directamente la función f(x), resulta más conveniente
transformar el polinomio de Taylor de las función y =senx. En
efecto, tenemos que,
sen x ≈ x − x3
+ ···
3!
de donde, sustituyendo x por el propio desarrollo de sen x, es decir, por
x − x3
+ ···, resulta
3!
f(x) = sen(sen x) ≈ [x − x3
3!
≈ x − x3
3!
3.5.5. Resto de Taylor
[x −
+ ···] −
x3
+ ···]3
3! + ···≈
3!
− x3
3!
+ ···≈x − 2x3
3!
+ ···= x − x3
3
+ ···
Con el término Resto de Taylor nos referimos al error que se comete al
aproximar una función no polinómica mediante su polinomio de Taylor.
Si aproximamos la función f mediante el n-simo polinomio de Taylor, el
error vendrá dado por la diferencia de los valores que toman la función y el
polinomio.
y = f(x)
pn(x)
f(x) ≈ pn(x) ⇒|Rn(x)| = |f(x) − pn(x)|
Teorema 3.8 (Teorema del Resto). Sea f una función definida en el
intervalo cerrado [a, b] tal que f (n) es continua en [a, b] y f (n+1) existe en
(a, b). Seanx y x0 puntos de [a, b], siendox = x0. Ysea
pn(x) =f(x0)+f ′ (x0)(x − x0)+ f ′′ (x0)
2!
(x − x0) 2 + ···+ f (n) (x0)
(x − x0)
n!
n
Entonces existe un punto c entre x y x0 tal que el error que se comete
al aproximar la función f mediante el n-simo polinomio de Taylor en un
entorno del punto x0 viene definido por la fórmula:
Rn(x) = f (n+1) (c)
(n +1)! (x − x0) n+1 (3.2)
A esta expresión del Resto de Taylor se le llama expresión de Lagrange.
Existen otras expresiones para calcular el error, sin embargo, ésta es la más
fácil de recordar puesto que se trata del término siguiente del desarrollo,
salvo que la derivada se toma en un punto intermedio c.