Salvador Vera

210 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
de donde,
1 − cos(1 − cos x) ≈
Por otro lado,
ln(1 + x) =
de donde,
x
0
cos x ≈ 1 − x2 x4
x2 x4
+ ···⇒1 − cos x ≈ − + ···
2! 4! 2! 4!
x 2
ln 1+ln(1+x) ¡ ≈ (x − x2
2
≈ (x − x2
2
x4
−
2! 4!
2!
2 + ···
dt
1+t =
x
1
dt =
0 1 − (−t)
+ x3
3
+ x3
3
−···) −
≈ x − x 2 + 7x3
6 −···
Y, finalmente, tenemos
de donde,
e x ≈ 1+x + x2
2
e −2x − 1 ≈−2x + (−2x)2
2
de donde, sustituyendo, resulta:
−
x
0
−···) − ( x2
2
3sen(x
lím
x→0
3 )+1− cos(1 − cos x)
2ln 1+ln(1+x) ¡ + e−2x − 1 =
=lím
x→0
=lím
x→0
x 2
x4
−
2! 4!
4!
4 + ···
+ ···≈ x4
8
[1 − t + t 2 −···] dt = x − x2
2
(x − x2
2
− x3
2
x3
+
3 ···)2 (x −
+
2
x2
2
+ ···)+(x3
3 −···)
x3
+
3! + ··· ⇒ ex − 1 ≈ x + x2 x3
+ + ···
2 3!
+ (−2x)3
3!
3[x 3 −···]+[ x4
8 −···]
+ ···≈−2x +2x2 − 8x3
6
2[x − x2 + 7x3
6 −···]+[−2x +2x2 − 8x3
3
3[x 3 −···]
[2x − 2x2 + 14x3
6 −···]+[−2x +2x2 − 8x3
+ ···]
6
Problemas propuestos del Capítulo 3
3.1.
=
+ ···]
+ ···
+ x3
3 −···
x3
+
3 ···)3
···
3
+ ···
3[x
=lím
x→0
3 −···]
6x 3 =3
6
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