Salvador Vera

78 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
1.5.8. Técnicas elementales para el cálculo de límites
Todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en los
que están definidas. En consecuencia para calcular el límite de una función
elemental en un punto de su dominio bastará con hacer la sustitución directa.
Es decir
lím f(x) =f(x0)
x→x0
El problema está encalcularellímite de una función elemental en un punto
en el que no está definida. Es decir, en un punto tal que al hacer la sustitución
directa nos encontramos con una indeterminación. Habrá que hacer
las operaciones necesarias para romper la indeterminación.
Teorema 1.9 (Funciones que coinciden en todos sus puntos excepto
en uno). Sea x0 un número real y sean f y g dos funciones que coinciden
en todos los puntos de un entorno de x0, salvo quizás en x0. Entonces, si
existe el límite de una de ellas en x0, también existe el límitedelaotray
además son iguales.
f(x) =g(x) para x = x0 ⇒ lím f(x) = lím g(x)
x→x0 x→x0
Demostración. Supongamos que existe el límite de g(x) cuando x → x0 y
que dicho límite es ℓ. Entonces, por definición, se tiene que para cada ε>0
existe un δ>0 tal que
|g(x) − ℓ|