Salvador Vera

156 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.1.8. Significado gráfico de la derivada: Suavidad.
Una función es continua en un punto , si su gráfica atraviesa dicho punto.
Una función es derivable en un punto si su gráfica lo atraviesa con suavidad.
Continuas
Derivables
✏❛
✏
Discontinuas
Figura 3.12: Funciones
Una función no es derivable:
En los puntos angulosos.
En los puntos de tangente vertical.
En los puntos de discontinuidad.
Ejemplo 3.5. Estúdiese cuál de las tres funciones siguientes atraviesa el
origen con más suavidad.
1
1
2 1
sen si x = 0
x sen si x = 0
x sen si x = 0
f(x) = x g(x) = x h(x) = x
0 si x =0
0 si x =0
0 si x =0
Solución. La función f no es continua en 0, por lo tanto no lo atraviesa.
La función g es continua en 0, pero no es derivable 0, luego lo atraviesa,
pero sin suavidad.
La función h es continua y derivable en el origen, luego lo atraviesa con
suavidad.
Figura 3.13: La derivabilidad de la función muestra la suavidad de la curva
3.1.9. La ecuación de la recta tangente
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, con
lo cual: