Salvador Vera

4.1. DERIVADAS PARCIALES 221
Por otro lado, igual que ocurre para funciones de una variable, resulta
evidente que de la continuidad de las funciones de n variables en un punto
dado, no se deriva la existencia de sus derivadas parciales en ese punto.
En consecuencia, para funciones de n variables, n ≥ 2, ni de la continuidad
de esa función en un punto se deduce la existencia de las derivadas
parciales, ni de la existencia de las derivadas parciales se deduce la continuidad
en el punto.
Ejemplo 4.10. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas parciales
en el punto p(0, 0) de la función f : R 2 → R definida por:
Solución.
f(x, y) =
xy
x 2 + y 2
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) =(0, 0)
1. Continuidad: La función no es continua en el punto p(0, 0), ya que no
existe el límite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto
mediante las rectas y = mx resulta:
xy
lím
(x,y)→(0,0) x2 = lím
+ y2 (x,y)→(0,0)
y=mx
xy
x 2 + y
2 = lím
(x,y)→(0,0)
y=mx
x→0
=lím
x→0
xmx
x2 + m2 =
x2 m m
=
1+m2 1+m2 luego el límite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, según
la recta por la que nos aproximemos al punto tendríamos un valor del
límite u otro.
2. Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la función no es
continua en el punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto
existen. En efecto:
∂f
f(0 + h, 0) − f(0, 0) f(h, 0) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
=lím
∂x h→0 h
h→0 h
=lím
h→0
=
h · 0
h2 − 0
+02 =0
h
∂f
f(0, 0+k) − f(0, 0) f(0,k) − f(0, 0)
(0, 0) = lím
=lím
∂y k→0 k
k→0 k
=lím
k→0
=
0 · k2 02 − 0
+ k2 =0
k