Salvador Vera

112 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
x y z
2 0 0
0 4 0
0 0 -4
Para hallar las coordenadas de un punto de un plano
se dan valores arbitrarios a dos de las variables y se
calcula el tercer valor a partir de la ecuación del plano.
En nuestro caso, se da el valor cero a dos de las variables
y se calcula el valor correspondiente de la otra
variable.
Observación. La ecuación del plano se generaliza al espacio de n dimensiones
mediante lo que se denomina hiperplano. Así, tenemos las siguientes
representaciones:
f(x) =ax + b Recta en el plano
f(x, y) =ax + by + c Plano en el espacio
f(x1,...,xx) =a1x1 + a2x2 + ···+ anxn + b Hiperplano en R n+1
Ejemplo 2.10. Representa la función: f(x, y) = 9 − x 2 − y 2
Solución. El dominio de la función viene determinado por 9 − x 2 − y 2 ≥ 0
x ✠
3
z
✻3
Figura 2.19:
✲ y
3
de donde x 2 + y 2 ≤ 9 que es el círculo con centro
el origen de coordenadas y radio 3 (incluido su contorno).
Para representar la función sustituimos f(x, y) por
z, con lo que resulta: z = 9 − x 2 − y 2 de donde
z 2 = 9 − x 2 − y 2 obienx 2 + y 2 + x 2 = 9 que es
la ecuación de la esfera de centro el origen de coordenadas
y radio 3. Y al limitarnos a valores de z positivos,
se reduce a la semiesfera superior.
Ejemplo 2.11. Representa la función: f(x, y) = 16 − 4x 2 − y 2
Solución. El dominio de la función vendrá determinado por 16−4x 2 −y 2 ≥ 0
x
✠
z
✻
4
2
Figura 2.20:
✲ y
4
de donde 4x2 + y2 ≤ 16, o lo que es lo mismo,
x2 y2
4 + 16 ≤ 1 que es la elipse con centro el origen
de coordenadas y semiejes 2 y 4 respectivamente
(incluido su contorno).
Para representar la función sustituimos f(x, y)
por z, con lo que resulta: z = 16 − 4x2 − y2 de donde z2 = 16 − 4x2 − y2 con lo cual
4x2 + y2 + z2 =16obien, x2 y2 z2
4 + 16 + 16 =1que
es la ecuación del elipsoide de centro el origen
de coordenadas y semiejes 2, 4 y 4 respectivamente.
Y al limitarnos a valores de z positivos,
se reduce al semielipsoide superior.