Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 309
crítico, si las curvas resultantes tienen puntos por encima y por debajo del
punto crítico, entonces se trata de un punto silla. El método es sólo refutativo
y no permite afirmar la existencia de máximoomínimo, sino sólo de punto
silla.
Ejemplo 4.68. Determinar los extremos relativos de la función:
f(x, y) =1− x 2 + y 2
Solución. Hallamos las derivadas parciales y determinamos los correspondientes
puntos críticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales
no está definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas.
En el caso de funciones polinómicas las parciales están siempre definidas,
por tanto:
fx(x, y) =−2x
fy(x, y) =2y
x =0
y =0
p(0, 0)
Donde el único punto crítico es el punto (0, 0). Para estudiar la naturaleza
del punto crítico p(0, 0) comparamos el valor de la función en el punto
crítico con el valor de la función en los alrededores del punto crítico.
✻
✲
✠
Figura 4.26: Punto silla.
f(0, 0) = 1
f(x, y) =1− x 2 + y 2 =
f(x, 0) = 1 − x 2 < 1
f(0,y)=1+y 2 > 1
Para estudiar la naturaleza del punto crítico p(0, 0) se ha cortado la superficie
mediante los dos planos verticales y =0yx = 0 con lo que se han
obtenido las curvas f(x, 0) = 1 − x 2 y f(0,y)=1+y 2 . Para la primera, el
punto x =0esunmáximo; y para la segunda, el punto y =0esunmínimo.
Luego el punto crítico p(0, 0) es un punto silla.
c) Criterio del hessiano.
Los métodos algebraicos solamente son útiles para funciones relativamente
fáciles. Para funciones más complicadas no son operativos y necesitamos
acudir a criterios analíticos, estudiando las derivadas parciales segundas.
Caso particular de funciones de dos variables.
Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos, formamos la matriz hessiana
en dichos puntos:
Hf(x, y) =
fxx fxy
fyx fyy