Salvador Vera

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 311
y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas. En el caso de
funciones polinómicas las parciales están siempre definidas, por tanto:
fx(x, y) =3x 2 − 6y
fy(x, y) =−6x +6y
=3x 2 − 6y =0
−6x +6y =0
x(3x − 6) = 0
x = y
x =0
x =2
Luego los puntos críticos son p(0, 0) y q(2, 2).
Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos, hallamos la matriz hes-
siana en cada uno de ellos:
Hf(x, y) =
fxx fxy
fyx fyy
=
6x
−6
−6 6
Con lo cual resulta:
|Hf(0, 0)| = ¬ 0 −6
−6 6¬
= −36 < 0 ⇒ (0, 0, −1) es un punto silla
|Hf(2, 2)| = ¬ 12 −6
−6 6¬
=72−36 = 36 > 0yfxx =12> 0 ⇒ f(2, 2) es un
mínimo relativo.
Ejemplo 4.70. Hallar y clasificar todos los puntos críticos de la función
f(x, y) =x 4 + y 4 +6x 2 y 2 +8x 3
Solución. Los puntos críticos son aquellos que anulan simultáneamente las
dos derivadas parciales, o bien donde alguna de las derivadas parciales no
existe. Al ser la función dada una función polinómica es diferenciable en todo
R 2 , luego los puntos críticos vendrán dado por las soluciones del siguiente
sistema de ecuaciones
Fx ≡ 4x 3 +12xy 2 +24x 2 =0
Fy ≡ 4y 3 +12x 2 y =0
x(4x 2 +12y 2 +24x) =0
4y(y 2 +3x 2 )=0
Para resolver el sistema igualamos a cero cada factor de la primera ecuación
con cada factor de la segunda ecuación:
1o 1o
x =0
P1(0, 0)
y =0
1o 2o
x =0
y2 +3x2
x =0
=0 y2
x =0
P1(0, 0)
=0 y =0
2o 1o
4x2 +12y2 +24x =0 4x2 +24x =0 4x(x +6)=0 P1(0, 0)
y =0
y =0 y =0 P2(−6, 0)
4x2 +12y2 +24x =0 4x2 +12y2 +24x =0
P1(0, 0)
2 o
2 o
y 2 +3x 2 =0
y 2 = −3x 2
Por tanto, las soluciones son P1(0, 0), P2(−6, 0)