Salvador Vera

4.9. FUNCIONES IMPLÍCITAS 299
También hay que advertir que se trata de un teorema local. Nos asegura
la existencia de la función y = f(x), o bien la posibilidad de despejar y en
términos de x a partir de F (x, y) = 0, pero solamente en las cercanías del
punto (x0,y0).
También debe tenerse en cuenta que para el caso de una variable existe
la posibilidad de calcular la derivada de la función implícita aplicando
directamente las reglas de derivación sobre la ecuación F (x, y) = 0. Simplemente
habrá que tener en cuenta que cada vez que derivemos la variable y
habrá que multiplicar por su derivada y ′ .
Ejemplo 4.60. Calcular y ′ ,siendo y 3 + y 2 − 5y − x 2 +4=0
(a) Aplicando las reglas de derivación.
(b) aplicando el teorema de la función implícita.
Solución. (a) Mediante las reglas de derivación tenemos:
3y 2 y ′ +2yy ′ − 5y ′ − 2x =0 → y ′ =
2x
3y 2 +2y − 5
(b) Mediante el teorema de la función implícita, hacemos F (x, y) =y 3 +
y 2 − 5y − x 2 + 4, con lo cual,
Fx = −2x
Fy =3y 2 +2y − 5
→ y ′ = −Fx
Fy
=
2x
3y 2 +2y − 5
Ejemplo 4.61. Razonar si la ecuación e y = x 3 +3y determina una función
y = f(x) que cumple f(1) = 0 y que es derivable en x =1. Calcular f ′ (1) y
la recta tangente a f(x) en (1, 0).
Solución. El teorema de la función implícita afirma que la ecuación F (x, y) =0
define una función y = f(x) derivable en un punto x0, sisecumplenlas
tres condiciones siguientes: El punto P (x0,y0), con y0 = f(x0), cumple la
ecuación F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son continuas, y
Fy(P ) = 0.
El punto P (1, 0) cumple la ecuación dada, en efecto:
e 0 =1 3 +3· 0=1+0=1
Las derivadas parciales de F (x, y) =e y −x 3 −3y son continuas en todo R 2 y
por tanto en P , por tratarse de una función polinómica y una exponencial,
en efecto:
Fx(x, y) =−3x 2
Fy(x, y) =e y − 3