Salvador Vera

140 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
7x(x − 5)
Ejemplo 2.37. Calcular el siguiente límite: lím
(x,y)→(5,−2) y +2
Solución. Nos aproximamos al punto (5, −2) mediante rectas que pasen por
dicho punto y +2=m(x − 5), de donde,
7x(x − 5)
lím
(x,y)→(5,−2) y +2
= ä0
0
luego el límite dado no existe, por depender de m.
Ejemplo 2.38. Calcular, si existe, lím
(x,y)→(1,1)
ç 7x(x − 5)
=lím
x→5 m(x − 5) =lím
7x 35
= = f(m)
x→5 m m
xy − x − y +1
x 2 + y 2 − 2x − 2y +2
Solución. Agrupando términos en el numerador y denominador y haciendo
el límite resultante por rectas y − 1=m(x − 1), resulta:
lím
(x,y)→(1,1)
xy − x − y +1
x 2 + y 2 − 2x − 2y +2 =
= lím
(x,y)→(1,1)
x(y − 1) − (y − 1)
(x − 1) 2 − 1+(y − 1) 2 − 1+2 =
(x − 1)(y − 1)
= lím
(x,y)→(1,1) (x − 1) 2 = lím
+(y − 1) 2 x→1
y−1=m(x−1)
(x − 1)m(x − 1)
(x − 1) 2 + m2 =
(x − 1) 2
= m
= f(m)
1+m2 Luego, al depender de m, ellímite no existe.
Determinación de la trayectoria díscola
Cuando tengamos la sospecha de que un límite no existe, y sin embargo,
las trayectorias habituales (rectas y parábolas) conducen al mismo resultado,
podemos intentar buscar una trayectoria díscola por dos procedimientos:
1. Mediante la sustitución implícita
2. Mediante la aplicación sucesiva de la regla de L´Höpital
a) Mediante la sustitución implícita
En lugar de trayectorias del tipo y = f(x), se pueden utilizar trayectorias
definidas implícitamente F (x, y) = 0. Así, en el caso de fracciones, sustituiremos
todo el numerador o el denominador por lo que nos interese para
conseguir el límite deseado, siempre que la sustitución que hacemos se corresponda
realmente con una trayectoria que pasa por el punto objeto de
límite.
Nota. Para ver si una ecuación del tipo F (x, y) = 0 se corresponde con una trayectoria
válida de aproximación al punto en cuestión, hay que comprobar que se cumplen las
condiciones exigidas en el teorema 4.14 de la función implícita (pág. 298).
Mientras el alumno no conozca dicho teorema, además de comprobar que la trayectoria
pasa por el punto en cuestión, debe que comprobar que alguna de las variables es función
de la otra en un entorno de dicho punto, para ello puede limitarse a ecuaciones en las que