Salvador Vera

5.6. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 359
5.6. Integración de funciones racionales
Se llaman funciones racionales a las que vienen definidas por el cociente
de dos polinomios. Pm(x)
Pn(x) dx
5.6.1. Integración de fracciones elementales
Se denominan fracciones simples (o elementales) a las fracciones racionales
de los cuatro tipos siguientes:
I.
1
x − a
II.
1
(x − a) n
III.
Ax + B
x 2 + px + q
IV.
siendo x2 + px + q irreducible.
Las siguientes integrales racionales son inmediatas:
1
f ′ (x)
dx =ln|x − a| + C
dx =ln|f(x)| + C
x − a f(x)
dx
(x − a) −n dx = (x − a) −n+1
=
(x − a) n
1
dx =arctgx + C
1+x2 Integrales del tipo:
1
x 2 + px + q dx
−n +1
+ C =
Ax + B
(x 2 + px + q) n
−1
+ C
(n − 1)(x − a) n−1
Ax + B
x 2 + px + q dx siendo x2 + px + q = 0
En el trinomio cuadrado del denominador se separa el cuadrado perfecto del
binomio.
1
Ejemplo 5.54. Hallar la integral
x2 +4x +13 dx
Solución. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio,
x 2 +4x +13=(x +2) 2 − 4+13=(x +2) 2 +9
de donde,
dx
x2 +4x +13 =
dx
(x +2) 2 1
=
+9 9
dx
2 =
x +2
+1
3
= 3 1/3 dx
2 =
9 x +2
+1
3
1 x +2
arc tg + C
3 3