Salvador Vera

4.2. DERIVADAS PARCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES 223
Notación: Para simplificar los paréntesis usaremos la siguiente notación:
(fx) x = fxx = ∂
∂f ∂
=
∂x ∂x
2f ∂x2 = D1 (D1f) =D11f
(fx) y = fxy = ∂
∂f ∂
=
∂y ∂x
2f ∂y∂x = D2 (D1f) =D21f
(fy) x = fyx = ∂
∂f ∂
=
∂x ∂y
2f ∂x∂y = D1 (D2f) =D12f
(fy) y = fyy = ∂
∂f ∂
=
∂y ∂y
2f ∂y∂y = D2 (D2f) =D22f
Para evitar confusión con el orden de derivación (fxy = D21f), utilizaremos
el siguiente criterio: se empieza derivando por la variable “más cercana”
a la función. Así, derivar primero con respecto a x y a continuación con respecto
a y, se escribirá con cualquiera de las expresiones:
∂2f ∂y∂x = fxy = Dyxf
mientras que derivar primero con respecto a y y a continuación con respecto
a x, se escribirá con cualquiera de las expresiones:
∂2f ∂x∂y = fyx = Dxyf
Nota. El criterio utilizado aquí, unas veces va de izquierda a derecha fxy y
otras de derecha a izquierda Dyxf, por eso algunos autores utilizan criterios
diferentes. Sin embargo el utilizado aquí eselmás aceptado.
Ejemplo 4.12. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la función
f(x, y) =sen(x 2 y)
Solución.
fx =2xy cos(x2y) fxx =
fx =2ycos(x x 2y)+2xy − 2xy sen(x2y) =
=2ycos(x2y) − 4x2y2 sen(x2y) fxy =
fx =2xcos(x y 2y)+2xy − x2 sen(x2y) =
=2xcos(x2y) − 2x3y sen(x2y) fy = x2 cos(x2y) fyx =
fy =2xcos(x x 2y)+x2 − 2xy sen(x2y) =
fyy =
fy = x
y 2 − x2 sen(x2y) = −x4 sen(x2y) =2x cos(x 2 y) − 2x 3 y sen(x 2 y)
Derivadas parciales cruzadas. Las derivadas parciales fxy y fyx, sellaman
derivadas parciales cruzadas y cuando son continuas coinciden.