Salvador Vera

168 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
✲x y
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Figura 3.21: Tangentes a (x − 2) 2 +(y − 2) 2 =2
3.2.6. Derivación logarítmica
Dada una función y = f(x), la derivación logarítmica consiste en tomar ln
en los dos miembros de la igualdad y derivar, después de simplificar.
La derivación logarítmica se aplica:
1. Para derivar funciones exponenciales
2. Para simplificar la derivación de productos y cocientes.
Observación: La derivación logarítmica se puede aplicar incluso si la función
toma valores negativos.
Ejemplo 3.21. Derivar y = xtg x
Solución. Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:
ln y =lnx tg x → ln y =tgx ln x → y′
y
y ′
ln x
= y
cos2 x
tg x tg x
+ = x
x
1
=
cos2 1
ln x +tgx
x x →
ln x
cos 2 x
+ tg x
x
Observación: La derivación logarítmica también se puede hacer aplicando
la identidad logarítmica y = e ln y .
Así, en el ejemplo anterior tendríamos:
y ′ tg x ln x
= e
y = x tg x ln xtg
x
= e = e tg x ln x →
ln x
cos 2 x
Ejemplo 3.22. Derivar y =
+ tg x
x
= x tg x
x 3 sen 2 x
(x +1)(x − 2) 2
ln x
cos 2 x
Solución. Tomando ln en los dos miembros de la igualdad
ln y =ln
x 3 sen 2 x
(x +1)(x − 2) 2
tg x
+
x