Salvador Vera

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 203
Con lo cual podemos afirmar lo siguiente: Si la primera derivada que no se
anula en un punto crítico es par, entonces hay un máximo si dicha derivada
es negativa y un mínimo si es positiva. Si la primera derivada que no se
anule es de orden impar, entonces existe un punto de inflexión.
Ejemplo 3.62. Estudiar la naturaleza del origen en las siguientes funciones:
Solución.
(a) f(x) =x 4
(b) f(x) =x 3
(c) f(x) =−x 4
1. f(x) =x 4
f ′ (x) =4x 3 → f ′ (0) = 0
f ′′ (x) =12x 2 → f ′′ (0) = 0
f ′′′ (x) =24x → f ′′′ (0) = 0
f (IV ) (x) =24 → f (IV ) (0) = 24 > 0 par y positivo → mínimo
2. f(x) =x 3
f ′ (x) =3x 2 → f ′ (0) = 0
f ′′ (x) =6x → f ′′ (0) = 0
f ′′′ (x) =6 → f ′′′ (0) = 6 = 0 impar→ punto de inflexión
3. f(x) =−x 4
f ′ (x) =−4x 3 → f ′ (0) = 0
f ′′ (x) =−12x 2 → f ′′ (0) = 0
f ′′′ (x) =−24x → f ′′′ (0) = 0
f (IV ) (x) =−24 → f (IV ) (0) = 24 < 0 par y negativo → Máximo.
Ejemplo 3.63. Estudiar la naturaleza de los puntos críticos de la función:
f(x) =x 3 − 3x 2 +2
Solución. Hallamos la derivada para buscar los puntos críticos.
f ′ (x) =3x 2 −6x → 3x 2 −6x =0 → x 2 −2x =0 → x(x−2) = 0
luego los puntos críticos son x =0yx =2.
Calculamos el valor de la derivada segunda en cada uno de los puntos críticos.
f ′′ (x) =6x − 6
f ′′ (0) = −6 → f(0) máximo relativo
f ′′ (2) = 6 > 0 → f(2) mínimo relativo
3.6.3. Determinación de funciones conocidos sus puntos críticos
La dificultad de este tipo de ejercicios está en saber aprovechar toda la
información que nos da el enunciado.