Salvador Vera

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24 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS más característico de este tipo de funciones es la función valor absoluto h(x) =|x| que se define ✭✭a trozos✮✮ de la siguiente forma x si x ≥ 0 h(x) = −x si x
1.3. FUNCIONES 25 Esto lo indicaremos de la siguiente forma, D⊆A f −→ B obien f : D⊆A → B f : x ↦→ y, obien y = f(x) Esta definición admite la posibilidad de que la función pueda no estar definida para ciertos elementos de A, así como que haya elementos de B que no sean imágenes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B puede haber elementos no relacionados mediante la función f. Y además, admite la consideración de funciones para las cuales los conjuntos A y B no son necesariamente de números reales. Sin embargo, la definición presenta un inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se define lo que deba interpretarse por ✭✭regla de correspondencia✮✮. Una forma más precisa de definir el concepto de función consiste en imaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que están relacionados entre sí. La función, así concebida, sería un conjunto de pares ordenados f ⊆ A×B. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenados no define una función, ya que el primer elemento de las parejas no se puede repetir dentro del conjunto. La función, así concebida, sería un conjunto, y la podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la gráfica de la función. La definición, en estos términos, es la siguiente: Definición 1.10 (Función). Sean A y B conjuntos (no vacíos y no necesariamente distintos). Una función de A a B es un conjunto f de pares ordenados de A×B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b ′ ) son elementos de f, entoncesb = b ′ . f = {(a, b) ∈ A × B/(a, b) ∈ f y (a, b ′ ) ∈ f ⇒ b = b ′ } Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepción de las funciones: una estática, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra dinámica, como una transformación del primer elemento de cada par en el segundo b = f(a). Si (a, b) es un elemento de una función f, entonces, en vez de escribir (a, b) ∈ f, se escribe: b = f(a) ó f : a ↦→ b es decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f en el punto a, olaimagen de a bajo f. Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamos haciendo es eliminar la posibilidad de definir una función mediante la que se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 será 2o−2, según nos convenga en cada caso. Dominio y recorrido de una función
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