Salvador Vera

144 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
y +senx ä0ç
mx +senx ä0ç
lím
= =lím
= =
(x,y)→(0,0) y + x 0 x→0 mx + x 0
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hôpital, con lo cual
m +cosx m +1
=lím = =1 param = −1
x→0 m +1 m +1
sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la cúbica y = x3−x resulta que el límite, de existir, debería de valer 5/6
y +senx
lím
(x,y)→(0,0) y + x =lím
x
x→0
3 − x +senx
x3 − x + x =lím
x
x→0
3 − x +senx
x3 = ä0ç
=
0
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hôpital, con lo cual
3x
=lím
x→0
2 − 1 + cos x
3x2 = ä0ç 6x − sen x
=lím
=
0 x→0 6x
ä0ç 6 − cos x
=lím =
0 x→0 6
5
6 =1
Con lo cual podemos afirmar que el límite propuesto no existe.
Hemos utilizado la cúbica y = x 3 − x y no otra función, por la siguiente
razón. Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva
y = p(x), y que aplicamos sucesivamente L’Hôpital, y queremos que resulte
y +senx
lím
(x,y)→(0,0)
y + x =lím
x→0
=lím
x→0
p ′′ (x) − sen x
p ′′ (x)
p(x)+senx ä0
=
p(x)+x 0
= ä0ç
=lím
0 x→0
ç p
=lím
x→0
′ (x)+cosx
p ′ (x)+1
p ′′′ (x) − cos x
p ′′′ (x)
= 1
= ä0
0
Para ello tendrá queser
p ′′′ (0) = 0, p ′′ (0) = 0, p ′ que se consigue con
(0) = −1, p(0) = 0
p ′′′ (x) =a → p ′′ (x) =ax → p ′ (x) = a
2 x2 − 1 → p(x) = a
6 x3 − x
Límites parciales iterados (o reiterados).
Figura 2.40: Límites iterados
ç =
Se pueden calcular los siguientes límites:
lím
x→x0
lím
y→y0
ä
lím f(x, y)
y→y0
x=x0
ç
ä
lím f(x, y) ç
x→x0
y=y0
Si estos dos límites son distintos, entonces la función no tiene límite, pero si
son iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nada
sobre el límite doble.