Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 59
y
3
2
1
−3 −2 −1
−1
−2
1 2 3
x − 2
Figura 1.26: lím √ =2
x→2 x − 1 − 1
b) Al representar estos puntos, se ve que la gráfica de f es una curva con
un hueco en el punto (2, 2) (véase Figura 1.26
Aunque x no puede ser igual a 2, podemos acercarnos a 2 cuanto queramos
y como resultado f(x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Por
eso decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 2, y lo denotamos
como
lím f(x) =2 obien, lím
x→2 x→2
x
x − 2
√ x − 1 − 1 =2
Inexistencia de límite. En los ejemplos anteriores cuando x se acerca a
x0, tanto por la derecha como por la izquierda, f(x) se acerca, en ambos
casos, a un mismo valor ℓ, que llamábamos límite de la función. En ocasiones
esto no ocurre y entonces decimos que la función f no tiene límite en el punto
x0. Las situaciones más frecuentes que conducen a la inexistencia del límite
de la función f en el punto x0 son las siguientes:
1. Límites laterales diferentes. f(x) se aproxima por la derecha de x0 a
un valor y por la izquierda a otro valor diferente.
2. El límite se hace infinito. f(x) crece o decrece sin tope cuando x se
acerca a x0, por la derecha o por la izquierda.
3. Inexistencia del límite por oscilación. Las valores de f(x) oscilan, indefinidamente,
entre dos valores fijos cuando x se acerca a x0.
Ejemplo 1.43 (Límites laterales diferentes). Probar que el siguiente límite
no existe
|x|
lím
x→0 x
Solución. Consideremos la función
f(x) = |x|
x
Para comprender su significado, demos varios valores a x. Así,
f(3) = |3| 3
= =1,
3 3
0
f(0) = = no definido,
0
|−3| +3
f(−3) = = = −1
−3 −3