Salvador Vera

348CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
b) Se sustituyen en esta primitiva los límites de integración -el superior
y el inferior- y se restan los resultados.
b å èb f(x) dx = f(x) dx
b = G(x) = G(b) − G(a)
Ejemplo 5.25. Calcular
a
1
0
x 2 dx
Solución. Basta con encontrar una primitiva de x 2 y evaluarla en los extremos
de integración.
1
0
x 2 æ
x3 dx =
3
é 1
0
a
= 1
− 0=1
3 3
Ejemplo 5.26. Hallar el área de la región bajo la gráfica de y =senx entre
0 y π.
Solución. El área viene definida por la siguiente integral,
y
✻
y =senx
0 π
Figura 5.14:
✲ x
Ejemplo 5.27. Calcular
A =
√ 3
1
π
0
sen xdx=
dx
1+x 2
a
π − cos x = − cos π +cos0=
0
= −(−1)+1=1+1=2
Solución.
√ 3 dx
1 1+x2 = ä arc tg x ç√3 1 =arctg√3−arc tg 1 = π π
−
3 4
Integración de funciones definidas a trozos
= π
12
Ejemplo 5.28. Dada la función definida por f(x) = x2 si 0 ≤ x ≤ 1
x si 1 ≤ x ≤ 2
calcular
2
0
f(x) dx.
Solución. Descomponemos la integral con objeto de integrar por tramos,
utilizando en cada tramo la función correspondiente.
2
0
f(x) dx =
1
0
x 2 dx +
2
1
æ
x3 xdx=
3
é 1
0
æ
x2 +
2
é 2
1
= 1 1 11
+2− =
3 2 6