Salvador Vera

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 111
de la forma x, f(x) . Es decir,
gráf f = { (x, y) ∈ R 2 /x∈Df ,y= f(x) }
o bien, de manera esquemática,
x ∈Df
(x, y) ∈ gráf f ⇔
y = f(x)
⇔ (x, y) = x, f(x)
Funciones de dos variable. La gráfica de una función de dos variables
f(x, y) es el conjunto de puntos del espacio (x, y, z) para los cuales se tiene
que z = f(x, y) y (x, y) ∈ Df .
Es decir,
gráf f = { (x, y, z) ∈ R 3 / (x, y) ∈ Df ,z= f(x, y) }
(x, y, z) ∈ gráf f ⇔
z
✻
x
x ✠
z
y
Df
Figura 2.17:
✲ y
(x, y) ∈Df
z = f(x, y) ⇔ (x, y, z) =x, y, f(x, y)
La gráfica de una función de dos variables será una
superficie en el espacio. La proyección de la gráfica
sobre el plano horizontal coincide con el dominio de
la función.
Los puntos de la gráfica se representan por
(x, y, f(x, y))
En consecuencia, a cada punto (x, y) del dominio D le corresponde un
único punto (x, y, z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) de
la superficie le corresponde un punto (x, y) del dominio.
Ejemplo 2.9. Representar la función: f(x, y) =2x + y − 4
Solución. El dominio de la función es todo R2 . Para representar la función
ponemos z en lugar de f(x, y), para ver si se trata de una ecuación conocida,
✲ y
z ✻
4
con lo que tenemos: z =2x + y − 4, de donde resulta
2x + y − z = 4 que es la ecuación de un plano en
2
x ✠ −4
el espacio. Para tener una visualización del plano en
el espacio representamos el triángulo formado por los
tres puntos en los que el plano corta a los ejes de
Figura 2.18: coordenadas.