Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 287
Solución. El volumen del cono viene definido por: V = 1
3 πr2 h, de donde,
h
r
Figura 4.19: cono.
resulta,
dV
dt
dV
dt
∂V dr ∂V dh 2
= + =
∂r dt ∂h dt 3 πrhdr
dt
y, teniendo en cuenta que,
h =15
para
se tiene
r =10
=
h=15
r=10
2
3 π · 10 · 15 · 0′ 3+ 1
3 π · 100 · 0′ 2= −110π
3
Regla de la cadena para dos variables independientes
1 dh
+ πr2
3 dt
h ′ (t) =0 ′ 2
r ′ (t) =0 ′ 3
cm 3 /min
Si la función g depende de dos variables, t1 y t2, (x1, ··· ,xn) =g(t1,t2),
tendríamos la situación siguiente:
−−→ R
(t1,t2) ↦→ (x1, ··· ,xn) ↦→ z
R2 g
−−→ Rn f
donde g es una función de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo
de las dos variable t1 y t2. Al hacer la composición con f, seobtiene
la función f ◦ g que depende, también, de las variables t1 y t2. Para estas
funciones, las derivadas parciales de las fórmulas (4.15) del teorema anterior
son las siguientes:
∂
n ∂f
(f ◦ g)(x0) = g(x0)
∂tj
∂xi
∂gi
(x0). j =1, 2 (4.19)
∂tj
i=1
donde gi,i=1, 2, ··· ,n, son las funciones coordenadas de g.
Que, al igual que la fórmula (4.16), se puede expresar de la forma:
∂z
∂t1
∂z
∂t2
= ∂f ∂x1
∂x1 ∂t1
+ ···+ ∂f ∂xn
∂xn ∂t1
= ∂f ∂x1
∂x1 ∂t2
+ ···+ ∂f ∂xn
∂xn ∂t2
Es decir, de manera esquemática, pensando en términos de sustitución de
las variables, tenemos:
z = f(x1, ··· ,xn)
x1 = x1(t1,t2)
. xn = xn(t1,t2)
⇒
∂z
∂t1
∂z
∂t2
= ∂f ∂x1
∂x1 ∂t1
+ ···+ ∂f ∂xn
∂xn ∂t1
= ∂f ∂x1
∂x1 ∂t2
+ ···+ ∂f ∂xn
∂xn ∂t2