Salvador Vera

260 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Recta normal
Se llama recta normal a una superficie S en un punto P (x0,y0,z0) dela
misma, a la recta que pasa por P y tiene por vector director al vector
normal a la superficie en dicho punto. Es decir, la recta perpendicular al
plano tangente a la superficie en P . Teniendo en cuenta que el vector normal
a la superficie en el punto P (x0,y0,z0) es∇F (x0,y0,z0), podemos concluir
que la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto P viene definida
por las ecuaciones:
x − x0
Fx(x0,y0,z0) =
y − y0
Fy(x0,y0,z0) =
z − z0
Fz(x0,y0,z0)
(4.6)
Ejemplo 4.38. Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal
al paraboloide de ecuación z 2 − 2x 2 − 2y 2 − 12 = 0, en el punto (1, −1, 4)
Solución: Consideramos la función F (x, y, z) =z 2 −2x 2 −2y 2 −12 y hallamos
su gradiente en el punto (1, −1, 4)
Fx = −4x
Fy = −4y
Fz =2z
Fx(1, −1, 4) = −4
Fy(1, −1, 4) = 4
Fz(1, −1, 4) = 8
∇F (1, −1, 4) = (−4, 4, 8) (−1, 1, 2)
Luego el plano tangente es: −1(x−1)+1(y+1)+2(z−4) = 0 y simplificando
resulta
x − y − 2z +6=0
y la recta normal
x − 1
−1
= y +1
1
= z − 4
2
Existencia del plano tangente
Para construir la ecuación del plano tangente a una superficie en un punto lo único que
necesitamos son las derivadas parciales de la función en dicho punto, sin embargo, no
siempre dicha ecuación representa al plano tangente. Para que la ecuación (4.4) represente,
realmente, el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P (x0,y0,z0) es necesario
que la función f sea diferenciable en el punto p(x0,y0). No debe olvidarse que las derivadas
parciales pueden existir, incluso, en puntos donde la función no es ni siquiera continua,
y no tiene sentido hablar de plano tangente en dichos puntos. El concepto geométrico
de tangencia es el mismo que el concepto analítico de diferenciabilidad. Así, si la función
f : D ⊆ R 2 → R es diferenciable en p(x0,y0) entonces diremos que la ecuación (4.4) define
al plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P x0,y0; f(x0,y0) ¡ . Si la función
no es diferenciable en el punto p(x0,y0), entonces el plano tangente a la superficie en el
punto correspondiente no existe, con lo cual el plano obtenido con la ecuación (4.4) no
representa al plano tangente en el sentido preciso que se entiende en matemáticas.
Formalmente podemos enunciar la siguiente
Definición 4.10 (Plano tangente y recta normal). Si F es diferenciable en el punto
P (x0,y0,x0) de la superficie S dada por F (x, y, z) =0tal que ∇F (x0,y0,z0) = 0.
1. El plano que pasa por P yesnormala∇F (x0,y0,z0) se conoce como el plano
tangente a S en P .