Salvador Vera

276 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
de donde,
2x 6y
df =
15x 2
12y 5
dx
dy
= 2xdx +6ydx, 15x 2 dx +12y 5 dy ¡
Al mismo resultado hubiéramos llegado operando por componentes, en efecto,
df =(df 1,df2) = 2xdx +6ydx, 15x 2 dx +12y 5 dy ¡
4.8. Regla de la cadena
4.8.1. Funciones compuestas, inversas e implícitas de una variable
Composición de funciones. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda
función al resultado de la primera. Analíticamente también significa sustituir una función
en la otra. Es decir, si tenemos la función y = f(x) que establece la dependencia entre y y
x, ylafunción x = g(t), que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta
última en la primera y obtener y = f g(t) ¡ . A la función así obtenida (que envía t a y)
se le llama composición de f con g y se denota por f ◦ g. Obsérvese que el orden en que
se escribe la composición f ◦ g es el inverso al orden en que actúan las funciones (primero
g, después f). Conviene tener siempre presente esta doble visualización de la composición
de funciones: Como aplicación sucesiva de dos funciones, y como sustitución de la variable
por una función de otra variable. En esquema sería lo siguiente:
(a) Como aplicación sucesiva de funciones:
g
t
•
❘
•
x
❘
• y
✯
f ◦ g
Figura 4.16: Composición de funciones
(b) Como sustitución de la variable:
y = f(x)
x = g(t)
y = f g(t) ¡
Es evidente que para poder componer dos funciones el rango de la primera tiene que estar
contenido en el dominio de la segunda g(Dg) ⊆Df , en caso contrario, después de aplicar
g no podríamos aplicar f. Hayqueadvertirque,engeneral,lacomposición de funciones
no es conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos será f ◦ g = g ◦ f, incluso, puede
suceder que esté definida la composición en un orden y no en el otro. Sin embargo, sí se
cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) =(f ◦ g) ◦ h. Desde el punto de vista formal la
composición puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones g : I ⊆ R → R,
f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composición de f con g ysedenota
f ◦ g : I ⊆ R → R, alafunción (f ◦ g)(x) =f g(x) ¡ .
g : I ⊆ R → R
f : J ⊆ R → R
I g −→ J f −→ R
f ◦ g : I ⊆ R → R
f
(f ◦ g)(x) =f g(x) ¡