Salvador Vera

4.4. DIFERENCIABILIDAD 239
4.4.3. La diferencial
Si la función f : D⊆R2 → R es diferenciable en el punto p =(x0,y0) ∈D,
entonces a la parte lineal en h y k (λ(h, k) =Ah + Bk) de la expresión del
residuo
f (x0,y0)+(h, k) r(h, k)
=f(x0,y0)+ Ah + Bk +r(h, k) con lím
(h,k)→(0,0) (h, k) =0
se le llama diferencial de la función f en (x0,y0) y se denota por df (x0,y0).
Así,
df (x0,y0) =Ah + Bk
Y dado que, como se vio en la proposición 4.1, A y B representan las derivadas
parciales de la función f en el punto (x0,y0), resulta:
df (x0,y0) = ∂f
∂x (x0,y0)h + ∂f
∂y (x0,y0)k
Y teniendo en cuenta que si f(x, y) =x, setieneh = dx ysif(x, y) =y, se
tiene k = dy, podemos escribir:
Odemaneramás general:
df (x0,y0) = ∂f
∂x (x0,y0)dx + ∂f
∂y (x0,y0)dy
Definición 4.6 (La diferencial). Si la función f : D⊆R 2 → R es diferenciable
en el conjunto abierto D de R 2 , entonces, para cada x =(x, y) ∈D,
se llama diferencial de la función f en x y se denota por df , a la expresión:
4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad
df = ∂f ∂f
dx + dy (4.3)
∂x ∂y
Teorema 4.3 (Diferenciabilidad implica continuidad). Si la función
f : D⊆R 2 → R definida en un conjunto abierto D de R 2 , es diferenciable
en el punto p =(x0,y0) ∈D, entonces es continua en ese punto.
Demostración. Si f es diferenciable en el punto p =(x0,y0) setiene
f (x0,y0)+(h, k) r(h, k)
= f(x0,y0)+Ah+Bk+r(h, k) con lím
(h,k)→(0,0) (h, k) =0
Tomando límite cuando (h, k) → (0, 0) y teniendo en cuenta que
r(h, k)
lím
=0 ⇒ lím r(h, k) =0
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0)