Salvador Vera

4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. 231
4.3.2. Relación entre la derivada direccional y las derivadas parciales
Veamos a partir de un ejemplo un resultado que justificaremos más adelante.
Ejemplo 4.19. Hallar la derivada direccional de f(x, y) =x 2 + y 3 en
un punto genérico p(x, y), según la dirección de un vector genérico unitario
u =(u1,u2).
Solución. Tenemos,
de donde,
f(p) =f(x, y) =x 2 + y 3
p + tu =(x, y)+t(u1,u2) =(x + tu1,x+ tu2)
f(p + tu) =f(x + tu1,x+ tu2) =(x + tu1) 2 +(x + tu2) 3 =
con lo que resulta,
= x 2 +2xtu1 + t 2 (u1) 2 + x 3 +3x 2 tu2 +3xt 2 (u2) 2 + t 3 (u2) 3
f(p + tu) − f(p)
Duf(x, y) =lím
=
t→0 t
x
=lím
t→0
2 +2xtu1 + t2 (u1) 2 + y3 +3y2tu2 +3yt2 (u2) 2 + t3 (u2) 3 − (x2 + y3 )
=
t
=lím 2xu1 + t(u1)
t→0
2 +3y 2 u2 +3yt(u2) 2 + t 2 (u2) 3 =2xu1 +3y 2 u2
El cálculo de la derivada direccional aplicando la definición resulta bastante
engorroso, no obstante, el resultado de este ejemplo nos puede hacer
intuir una propiedad que demostraremos más adelante (ver teorema 4.5 en
la página 248) Du f = fx · u1 + fy · u2. Es decir, la derivada direccional se
puede obtener como la suma de los productos de las derivadas parciales por
las componentes del vector unitario de dirección. Esto nos permite obtener
las derivadas direccionales de una manera mucho más fácil que aplicando
directamente la definición. Sin embargo, esta fórmula no es válidaparatodo
tipo de funciones, sino solamente para las ✭✭diferenciables✮✮,deahíque,en
ocasiones, tengamos que acudir al incómodo límite de la definición.
Ejemplo 4.20. Comprobar que las derivadas direccionales calculadas en los
ejemplo 4.17 y 4.18 cumplen la relación anterior.
Solución.
1. En el ejemplo 4.17 tenemos los siguientes datos:
f(x, y) =x 2 +3xy 2 , p(1, 2) y u =
−1
√5 , −2
√
5