Salvador Vera

106 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
Ahora bien, la pareja de funciones x = g1(u, v), y = g2(u, v) que sustituimos,
también puede considerarse como las componentes de una sola función
vectorial g : D⊆R 2 → R 2 , de tal manera que a cada punto (u, v) ∈D
la función vectorial g le asocia el punto g(u, v) ∈ R 2 , cuyas coordenadas
son (x, y) = g1(u, v),g2(u, v) .Osea,g(u, v) = g1(u, v),g2(u, v) .Yesto
permite interpretar la sustitución de las variables como la aplicación sucesiva
de dos funciones: una vectorial y la otra real. En esquema sería:
de donde,
R 2 g −→ R 2 f −→ R
(u, v) ↦→ (x, y) ↦→ z
f ◦ g(u, v) =f g(u, v) = f g1(u, v),g2(u, v)
Ejemplo 2.5 (Componiendo funciones). Hallar la función compuesta de la
función f(x, y) =xy 2 + xy con las funciones
x = g1(u, v) =u + v e y = g2(u, v) =uv
Solución. Si queremos interpretar la composición como la aplicación sucesiva
de dos funciones, consideramos la función vectorial
y, en esquema, resulta
g(u, v) = g1(u, v),g2(u, v) =(u + v, uv)
f(x, y) =xy 2 + xy
g(u, v) =(u + v, uv)
R 2 f −→ R
R 2 g −→ R 2
de donde, la composición buscada, será:
R 2 g −→ R 2 f −→ R
(u, v) ↦→ (x, y) ↦→ z
h(u, v) =(f ◦ g)(u, v) =f g(u, v) = f g1(u, v),g2(u, v) = f(u + v, uv) =
=(u + v)(uv) 2 +(u + v)uv = u 3 v 2 + u 2 v 3 + u 2 v + uv 2
Nótese que la función resultante de la composición, h = f ◦g, es una función
distinta de f, g, g1 y g2, es decir, se trata de una nueva función h, tal que
f(x, y) =h(u, v) = f(u, v)
En la práctica se pueden simplificar los cálculos, sustituyendo directamente:
f(x, y) =f(u+v, uv) =(u+v)(uv) 2 +(u+v)uv = u 3 v 2 +u 2 v 3 +u 2 v+uv 2 = h(u, v)
Ejemplo 2.6. Hallar la función compuesta de la función
f(x, y, z) =xy 2 z 3 − xyz
con las funciones x = g1(t) =e t , y = g2(t) =sent y z = g3(t) =t 2