Salvador Vera

280 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Ahora bien, las n funciones
x1 = g1(u1,u2, ··· ,um), x2 = g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,xn = gn(u1,u2, ··· ,um)
pueden considerarse como las componentes de una sola función vectorial g : D⊆R m →
R n , de tal manera que a cada punto (u1,u2, ··· ,um) ∈D⊆R m la función g le asocia el
punto g(u1,u2, ··· ,um) =(x1,x2, ··· ,xn) ∈ R n , cuyas coordenadas son
(x1,x2, ··· ,xn) = g1(u1,u2, ··· ,um),g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,gn(u1,u2, ··· ,um) ¡
Osea,
g(u1,u2, ··· ,um) = g1(u1,u2, ··· ,um),g2(u1,u2, ··· ,um), ··· ,gn(u1,u2, ··· ,um) ¡
que en esquema sería:
g n f
−−−→ R −−−→ R
R m
(u1,u2, ··· ,um) ↦→ (x1,x2, ··· ,xn) ↦→ z
De esta manera se ve el proceso de composición de funciones de varias variables como un
proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmente de la siguiente forma:
Definición 4.19 (Composición de funciones). Dadas la función f : Df ⊆ R n → R
definida en el conjunto Df de R n ylafunción g : Dg ⊆ R m → R n definida en el conjunto
Dg de R m , cuyo rango está contenido en Df (es decir, g(Dg) ⊆ Df ), entonces se puede
formar la composición de ambas funciones f ◦ g : Dg ⊆ R m → R, definida como:
(f ◦ g)(u) =f g(u)), u ∈ Dg
Esquemáticamente sería.
g : Dg ⊆ R m → R n
f : Df ⊆ R n → R
y mediante diagramas,
g f
Dg −→ Df −→ R
f ◦ g : Dg ⊆ R m ¡
(f ◦ g)(u) =f g(u)
→ R
g
u
•
❘
•
x
❘
• z
✯
R m R n R
f ◦ g
Figura 4.17: Composición de funciones
O bien, teniendo en consideración los dominios, Igual que en una variable, en general, la
composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa, y sí la asociativa.
4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva teórica: Diferencial
Teorema 4.9 (Regla de la cadena). Sea g : Dg ⊆ R m → R n una función definida
en el conjunto abierto Dg de R m , diferenciable en x0 ∈ Dg. Seaf : Df ⊆ R n → R p una
función definida en el conjunto abierto Df de R n ,talqueg(Dg) ⊆ Df , diferenciable en
y0 = g(x0) ∈ Df . Entonces la composición f ◦ g : Dg ⊆ R m → R p es diferenciable en x0
y además, en dicho punto,
d(f ◦ g) =df ◦ dg
f