Salvador Vera

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166 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejemplo 3.18. Determinar los coeficientes a y b para que la función x2 +1 si x ≥ 1 f(x) = ax + b si x
3.2. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. 167 Ejemplo 3.19. Derivar la ecuación: x 2 + y 2 =4 Solución. Una manera de hacerlo sería descomponiendola en dos funciones: x 2 + y 2 =4→ y1 =+ √ 4 − x 2 → y ′ 1 y2 = − √ 4 − x 2 → y ′ 2 = −x √ 4 − x 2 = − −x √ 4 − x 2 −x = y1 −x = y2 Sin embargo, no es necesario despejar la función, sino que podemos derivar directamente en la ecuación, x 2 + y 2 =4 → 2x +2yy ′ =0 → y ′ = −x y Observación: Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo la ecuación x 2 + y 2 = −2 no representa ningún punto del plano y por tanto no tiene ningún significado analítico. No obstante, al ser una expresión algebraica podríamos aplicarle las reglas de derivación y derivarla 2x+2yy ′ =0, ypodríamos pensar que y ′ = −x/y, sin embargo, estas operaciones no tienen ningún sentido. Ejemplo 3.20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia: (x − 2) 2 +(y − 2) 2 =2 en los puntos en que x =3. Comprobar el resultado gráficamente. Solución. Derivamos de manera implícita, 2(x − 2) + 2(y − 2)y ′ =0 → y ′ x − 2 = − y − 2 hallamos los puntos correspondientes a x =3 x =3 → 1+(y−2) 2 =2 → (y−2) 2 =1 → y−2 =±1 → y =2±1 = 3 1 Con lo cual, para x = 3 tenemos dos puntos de la circunferencia P (3, 1) y Q(3, 3). Hallamos la tangente en cada uno de ellos. P (3, 1) → y − 1= −1 (x − 3) → y − 1=x − 3 → y = x − 2 −1 Q(3, 3) → y − 3= −1 (x − 3) → y − 3=−x +3→ y = −x +6 1
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Índice alfabético Binomio de Newt
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