Salvador Vera

3.3. LÍMITE DE FUNCIONES 173
Ejemplo 3.27. Calcular los siguientes límites:
Solución.
1. lím
x→0
1. lím
x→0
4. lím
x→∞ x
2sen 2 x
x2 (1 + cos x)
1¡
1
x 1 −
5
2sen 2 x
x2 (1 + cos x) = ¢ 0
0
e
2. lím
x→0
x − 1
3. lím
x→1
4. lím
x→∞ x
5. lím
x→1
sen 2x = ¢ 0
0
£
=lím
x→0
£
=lím
x→1
£ =lím
x→0
x 1
=
2x 2
e
2. lím
x→0
x − 1
5. lím
x→1
sen 2x
n√ x − 1
m √ x − 1
2x 2
x 2 (1 + cos x) =lím
x→0
ln x
3. lím
x→1 1 − x
sen
6. lím
x→0
2 x + x 3
1 − cos x
2 2
=
1+cosx 2 =1
ln x
1 − x = ¢ 0 ln(1 + x − 1) x − 1
=lím
0
1 − x x→1 1 − x =lím
1 − x
− = −1
x→1 1 − x
1¡
1 ¢ £ x 1 − = ∞·0 = lím
5
x→∞ −x
1¡
1
x − 1 =
5
1 1¡
1
= lím −x ln = − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5
x→∞ x 5 5
n√
x − 1
m√ x − 1 = ¢ 0£
ln
=lím
0 x→1
¢ 1+( n√ x − 1) £
ln ¢ 1+( m√ ln £ =lím
x − 1) x→1
n√ x
ln m√ x =
sen
6. lím
x→0
2 x + x 3
1 − cos x = ¢ 0
0
£ =lím
x→0
sen 2 x
1 − cos x =lím
x→0
x 2
x 2 /2 =2
=lím
x→1
3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hôpital.
Formas indeterminadas
1
n
1
m
ln x
ln x = m
n
Las reglas de L’Hôpital pretenden resolver los siete casos de indeterminación
del límite:
0 ∞
,
0 ∞ , 0 ·∞, 1∞ , 0 0 , ∞ 0
Hay que hacer notar que las Reglas de L’Hôpital sólo se pueden aplicar
directamente a los dos casos 0 ∞
0 y ∞ . Para resolver los cinco casos restantes
habrá que transformarlos en uno de los dos tipos anteriores.
No son indeterminaciones las siguientes expresiones: