Salvador Vera

234 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
variable, hemos visto que la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica
la continuidad en ese punto, ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales
implica la continuidad. Por esta razón las derivadas parciales, al igual que las derivadas
direccionales, son una extensión en cierto modo poco satisfactoria del concepto de derivada
uni-dimensional. Por tanto, parece natural el deseo de tener una noción de derivada
para funciones de varias variables que implique la continuidad. Introducimos ahora una
generalización más conveniente que implica la continuidad y, al propio tiempo, nos permite
extender los principales teoremas de la teoría de la derivada uni-dimensional a las
funciones de varias variables. El concepto que mejor sirve a tal propósito es la noción de
diferencial.
Generalización del concepto unidimensional. Para funciones de una sola variable
f : D⊆R → R el concepto de diferenciabilidad se confunde con el concepto de derivabilidad,
así, una función y = f(x) es diferenciable en un punto x0 ∈Dsii posee derivada en
ese punto. Sin embargo, para varias variables estos dos conceptos no son equivalentes. Así,
para funciones de dos variable, hemos visto que la existencia de las derivadas parciales
en un punto no implica la continuidad en ese punto, ni siquiera la existencia de todas
las derivadas direccionales implica la continuidad. Esto nos obliga a buscar el verdadero
significado del concepto de diferenciabilidad, separándolo del concepto de derivabilidad,
de manera que represente la “suavidad” de la función y de él se deduzca la continuidad,
como ocurre en una variable.
Recordemos que una función de una variable f : D⊆R → R se dice que es diferenciable
en x0 ∈Dsi el siguiente límite existe y es finito:
f(x) − f(x0)
lím
x→x0 x − x0
En tal caso el valor del límite se llama “derivada de f en x0” y se denota por f ′ (x0).
Recordemos también que dicho límite admitía una segunda expresión que era equivalente
a la anterior:
f(x0 + h) − f(x0)
lím
h→0 h
Un primer intento para conseguir un concepto equivalente para funciones de varias
variables sería copiar la definición anterior extendiéndola a la nueva situación. Esto, sin
embargo, conduce a una expresión que carece de sentido. En efecto, para n variables
tendríamos:
f(x) − f(x0)
lím
x→x0 x − x0
donde aparece una división por un vector v = x − x0, operaciónquecarecedesentidocon
vectores de R n ,n>1.
Un segundo intento sería sustituir el vector del denominador por su norma o por su
longitud orientada. Pero en este caso la expresión carece de interés, ya que dicho límite
sólo existe en puntos muy concretos del dominio, con lo cual se trata de una propiedad
muy restrictiva de difícil verificación, y, por lo tanto, deja de representar el concepto de
función diferenciable. En efecto, para que exista el límite,
f(x) − f(x0)
lím
x→x0 x − x0
su valor ha de ser 0, ya que, por ejemplo, todas las derivadas direccionales en el punto x0
tienen que coincidir.
Esto hace que tengamos que replantearnos el concepto de función diferenciable de
manera que la nueva visión del concepto sea extendible a n variables.
Replanteamiento del concepto. Partamos de la interpretación geométrica del concepto.
Una función de una variable y = f(x) es diferenciable en un punto x0 de su dominio, si
su gráfica tiene recta tangente en dicho punto. Pero,¿quéentendemos por recta tangente