Salvador Vera

1.4. LÍMITE DE SUCESIONES 49
1.4.1. Cálculo de límites de sucesiones
Proposición 1.12 (Propiedades algebraicas de los límites de sucesiones).
Si
lím
n→∞ an = ℓ1 y lím
n→∞ bn = ℓ2
entonces se cumplen las siguientes propiedades
1. lím
n→∞ (an ± bn) =ℓ1 ± ℓ2 2. lím
n→∞ ran = rℓ1, r∈ R
3. lím
n→∞ anbn = ℓ1ℓ2 4. lím
n→∞
5. lím
n→∞ (an) bn =(ℓ1) ℓ2 , si ℓ1 > 0
an
bn
= ℓ1
, bn= 0y ℓ2 = 0
ℓ2
Reglas elementales para el cálculo de límites. Las reglas más frecuentes
para eliminar la indeterminación del límite de una sucesión son las
siguientes:
1. Indeterminación del tipo ∞
∞ . Se suele eliminar dividiendo numerador y
denominador por un término que elimine uno de los dos infinitos (por
ejemplo, máxima potencia de n).
2. Cociente de dos polinomios. Es un caso particular de la anterior. Este
casosereducealcocientedelostérminos de mayor grado, y se simplifica
la n.
apn
lím
n→∞
p + ap−1np−1 + ···+ a0
bqnq + bq−1nq−1 + ···+ b0
apn
= lím
n→∞
p
bqnq 3. Indeterminación del tipo ∞−∞.Enelcasodequesetratederaíces
cuadradas la indeterminación se suele eliminar multiplicando y dividiendo
por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de
manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la raíz
cuadrada.
4. Indeterminación del tipo 1∞ .Seaplicaelnúmero e.
n 1
lím 1+ = e =2,718
n→∞ n
que se generaliza para los límites del tipo:
lím
n→∞
1+ 1
an
an
= e =2,718
siempre que lím
n→∞ an =+∞ ó lím
n→∞ an = −∞
Ejemplo 1.34. Calcular los siguientes límites:
1. lím
n→∞
n +3
n3 = lím
+4 n→∞
n
=0
n3