Salvador Vera

292 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Al tomar límite cuando t → 0 (i.e. cuando h →0) el segundo sumando del lado derecho
tiende a cero, quedando sólo:
f ′ f(x0 + tej) − f(x0)
(x0)(ej) =lím
t→0 t
Al descomponer f como (f1,f2,...,fn), y tomando límites en cada una de las coordenadas,
vemos que éstos son las derivadas parciales respecto de la variable xj de cada una de las
componentes. es decir,
f ′ (x0)(ej) =
∂f1
∂xj
(x0), ∂f2
∂xj
(x0),..., ∂fm
(x0) =
∂xj
m
i=1
∂fi
(x0)ēi
∂xj
Entonces la j-ésima columna de la matriz que representa a la transformación lineal (derivada)
f ′ (x0) :R n → R m está formada por las derivadas parciales de las funciones componentes
de f respecto de su j-ésima variable. Es decir,
∂f1
(x0)
∂x1
∂f2
(x0)
∂x1
.
∂fm
(x0)
∂x1
∂f1
(x0) ...
∂x2
∂f2
(x0)
∂x2
...
. ···
∂fm
(x0)
∂x2
...
∂f1
(x0)
∂xn
∂f2
(x0)
∂xn
.
∂fm
(x0)
∂xn
A esta matriz de orden m×n, encuyai-ésima linea y j-ésima columna aparece la derivada
parcial ∂f i
x j (x0) delai-ésima función componente de f respecto de su j-ésima variable,
evaluada en x0, selellamamatriz jacobiana de la función f en x0 y se denota Jf(x0). Esta
es entonces la derivada de la función diferenciable f en x0 (identificando, como siempre, a
la transformación lineal f ′ (x0) :R n → R m con la matriz que la representa).
Gradiente y matriz jacobiana. Consideremos el caso m =1.Enestecaso,lafunción
f : D R n → R definida en el conjunto abierto D de R n será diferenciable en x0 ∈Dsi
se da la transformación lineal f ′ (x0) :R n → R cuya representación matricial es la matriz
1 × n
∂f
Jf(x0) = (x0)
∂x1
∂f
(x0) ···
∂x2
∂f
(x0)
∂xn
tal que
f(x0 + h) =f(x0)+f ′ (x0)h + r(h) con
r(h)
lím
h→0 h =0.
Ahora bien, Si h =(h1,h2,...,hn) ∈ R n es tal que x0 + h ∈D,setiene
f ′ (x0)h = Jf(x0)h =
∂f
∂x1
(x0) ∂f
(x0) ···
∂x2
∂f
(x0)
∂xn
h1
h2
= ∂f
(x0)h1 +
∂x1
∂f
(x0)h2 + ···+
∂x2
∂f
(x0)hn
∂xn
Comparando este resultado con el obtenido en la definición 4.7 (página 243), vemos
que se trata exactamente de la misma definición, sólo que en aquélla se hablaba de la
existencia de las derivadas parciales y ahora hablamos de la transformación lineal f ′ (x0)
(la derivada de f en x0) o de un modo más preciso, de la matriz que la representa. Es
decir, el residuo r(h) queda determinado de la misma manera en ambas definiciones y se
le pide que cumpla la misma propiedad.
.
hn
à
=