Salvador Vera

4.4. DIFERENCIABILIDAD 235
a una curva en uno de sus puntos?. De todas las rectas que pasan por el punto ¿cuál es
la recta tangente?. La recta tangente es una recta que toca a la curva en un punto, pero
que, además, la curva se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de
confundirse, “por un instante”, con la propia recta. Este aplanamiento en los alrededores
del punto de tangencia, este “tratar de confundirse” con la recta tangente, es lo que
hace que la curva sea suave y que se pueda aproximar mediante la recta tangente en los
alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que realmente caracteriza el concepto de
función diferenciable.
y
f(x0 + h)
f(x0)
✻
Q
r(h)
y = f(x)
P ✟
✟
✲x
x0
✟✟✟✟✟✟✟
Ó
f ′ (x0)h
✟
✟
✟
x0 + h
Figura 4.3: Diferencial de una función.
Recta tangente a la gráfica
de y = f(x) enx = x0
La recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto P = x0,f(x0) ¡ viene
definida por la ecuación
y = f(x0)+f ′ (x0)(x − x0)
Y en las proximidades del punto tenemos,
f(x) =f(x0)+f ′ (x0)(x − x0)+r(h)
donde r(h) es la distancia (vertical) entre la curva y la recta tangente. Este residuo r(h)
es lo que nos va a permitir caracterizar el concepto de diferenciabilidad. En efecto, una
primera observación nos hace ver que el residuo r(h) tiendeaceroamedidaquehtiende a cero. Sin embargo, este hecho no es importante en la definición de diferenciabilidad,
pues el que límh→0 r(h) =0loúnico que nos dice es que la función es continua en x0, y
seguiría valiendo cero cualquiera que fuera la recta que pase por P , aunque no fuera la
recta tangente, e incluso, aunque la función no tuviera tangente. Lo importante, cuando
se estudia la diferenciabilidad de funciones, es que el residuo r(h) tiende a cero más rápido
de lo que lo hace h. Esto significa que:
r(h)
lím
h→0 h =0
Gráficamente, este límite viene a significar el hecho de que la curva se “embarra” (“se
confunde”) con la recta tangente en los alrededores del punto P . En otras palabras, la
curva tiene que ser “suave”en P , para que “se pueda ver localmente como una recta”(su
recta tangente).
Tratemos de expresar estos conceptos de manera algebraica, desprendiéndolos de sus
significados geométricos, con objeto de poderlos generalizar a varias variables. Una recta
cualquiera que pase por el punto P = x0,f(x0) ¡ vendrá definida por la ecuación: y =
f(x0) +A(x − x0),oloqueeslomismoy = f(x0) +Ah donde A es la pendiente de la
recta y h = x − x0. Si queremos que, de todas las rectas que pasan por P , nuestra recta
sea la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P , tendrá que cumplirse:
r(h)
f(x0 + h) =f(x0)+Ah + r(h) donde lím
h→0 h =0